Помогите взять интеграл II

[Bulinator]

Есть интеграл
$\int\limits_{\theta_-}^{\theta_+}\sqrt{A+B\cos^2{\theta}-C\left(\frac{1+\cos^2{\theta}}{2\sin{\theta}}\right)^2}d\theta$
где $\theta_\pm$- нули подинтегрального выражения. Все константы хорошие, т.е. выражение под корнем положительно между $\theta_-$ и $\theta_+$.
Пробовал подстановки $x=\cos{\theta}$, $x=\cos^2{\theta}$ и $x=\tg{\theta}$. Все переводят в такой же бессмысленный вид. Математика выдает выражения содержащие Root от полиномов 4-й и 6-й степени.
Хотелось бы если не посчитать, то привести этот итеграл хотя бы к какому-то разумному виду. Например, к эллиптическому интегралу определенного рода.

Заранее спасибо.

[photon]

а если так?

$A+B\cos^2{\theta}-C\left(\dfrac{1+\cos^2{\theta}}{2\sin{\theta}}\right)^2=A+B(1-\sin^2\theta)-C\left(\dfrac{1+1-\sin^2\theta}{2\sin\theta}\right)^2=A+B-B\sin^2\theta-C\left(\dfrac{2-\sin^2\theta}{2\sin\theta}\right)^2=A+B-B\sin^2\theta-C\left(\dfrac{1}{\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{2}\right)^2=A+B-B\sin^2\theta-\dfrac{C}{\sin^2\theta}-\dfrac{\sin^2\theta}{4}+1$

а дальше делать замену $x=\sin^2\theta$

[Bulinator]

Это ж почти замена $x=\cos^2{\theta}$. Она приведет к интегралу вида
$\int\sqrt{\frac{a}{x(1-x)}+\frac{b}{1-x}+\frac{c}{x^2(1-x)}}dx$
А с ним что делать?

[Bulinator]

Подстановка $x=\cos{\theta}$ переводит интеграл в следующий вид:
$\int\limits_a^b\frac{\sqrt{(x^2-a^2)(b^2-x^2)}}{1-x^2}dx,\quad |a|,|b|<1,b>a$
Он просто не может не браться.

[Sonic86]

У меня Maple выдал комбинацию эллиптических интегралов , хотя безо всяких корней полинома, но он у меня древний.

[Bulinator]

Sonic86,
У меня был случай, когда нужный мне интеграл выражался через арктангенсы и арксинусы, а Математика представляла ответ в функциях, о которых я даже не слышал. Так что, есть еще маленькая надежда. :))

P.S.
Математика 8.01 этот интеграл вообще не считает. Даже с конкретными $a$ и $b$.

[nnosipov]

Bulinator в сообщении #458363 писал(а):

Подстановка $x=\cos{\theta}$ переводит интеграл в следующий вид:
$\int\limits_a^b\frac{\sqrt{(x^2-a^2)(b^2-x^2)}}{1-x^2}dx,\quad |a|,|b|<1,b>a$
Он просто не может не браться.

Загляните в какой-нибудь справочник по интегралам. Там много всякого добра, возможно и этот есть. Маловероятно, что можно обойтись без эллиптических интегралов.

[Bulinator]

У меня только Градштейн, Рыжик. Там не нашел, но после 6-го просмотра у меня все еще осталось чувство, что может быть я его не заметил :)))

[nnosipov]

Брычков, Прудников, ... "Интегралы и ряды". Очень толстый. А не заметить, проскочить вполне возможно. Maple выдаёт не слишком громоздкие комбинации эллиптических интегралов, упрощаемы ли они --- вопрос тонкий.

[Bulinator]

Нету там :(((

[Полосин]

Если $0<a<b<\sqrt{2}a$, то
$\int\limits_a^b\dfrac{\sqrt{(b^2-x^2)(x^2-a^2)}}{1-x^2}dx=\int\limits_{a^2}^{b^2}\dfrac{\sqrt{(b^2-t)(t-a^2)}}{2(1-t)\sqrt{t}}dt=\int\limits_0^{b^2-a^2}\dfrac{\sqrt{s(b^2-a^2-s)}ds}{2(1-a^2-s)\sqrt{a^2+s}}=\dfrac{\pi (b^2-a^2)^2}{16a(1-a^2)}F_1\left(\dfrac32,1,\dfrac12,3;\dfrac{b^2-a^2}{1-a^2},1-\dfrac{b^2}{a^2}\right)$ (Прудников, Брычков, Маричев, 1981, стр. 306, формула 2.2.8.5).

[ИСН]

Одно время я коллекционировал эвфемизмы для "пошёл к чёрту". Жемчужинами коллекции стали два выражения:
программерское - "мы кладём на это низкий приоритет"
и
математическое - "это выражается через обобщённую гипергеометрическую функцию".

[Полосин]

ИСН, я не это имел в виду - просто решил вступиться за честь ПБМ.

[Bulinator]

Полосин,
Я Вас люблю!!!