Объем тела. Тройной интеграл.

[utopy]

Добрый день. Есть тело $T={(x,y,z): x^2+y^2+z^2+8x-4z\leqslant5, (x+4)^2+y^2 \geqslant (z-2)^2, y-4\geqslantx, z\leqslant2}$

Нужно найти его объем через интеграл с помощью перевода в сферические координаты.

Я так понимаю, что x^2+y^2+z^2+8x-4z\leqslant5$ это сфера
$(x+4)^2+y^2 \geqslant (z-2)^2$ конус

Возникает пара вопросов, во первых, какой интеграл мне нужно считать.

$$2V=\int\int\int\rho^2 \sin \theta d\rhod\varphi d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin\theta d\theta \int_{0}^{5} \rho^2 d\rho$$

Правильно?
Не очень понятно, откуда взялось 2V и как влияют данные условия $y-4 \geqslant x, z\leqslant2$ на интеграл

Еще вопрос по пределам интегрирования
от 0 до $2\pi$ это окружность
от $\pi/4$ до $\pi/2$ это угол конуса 45 градусов
и от 0 до 5, 5 это радиус сферы, верно?

[ИСН]

utopy в сообщении #458129 писал(а):

Не очень понятно, откуда взялось 2V и как влияют данные условия $y-4\gleqslantx, z\leqslant2$ на интеграл

"Винни, а откуда взялось это сало, и куда пропал Пятачок?"
Здесь то же самое.
Ну в самом деле, подумайте, что это за условия?

[utopy]

$y-4 \geqslant x$
Ну здесь еще понятно,прямая делит окружность пополам, поэтому 2V

А как влияет $z\leqslant2$ на сам интеграл мне не ясно.

[ИСН]

Прямая? Окружность?? Кто все эти люди?
Я понимаю, что Вы более-менее понимаете происходящее, но выражайтесь строже.