Приведение квадратичной формы к каноническому виду

[kkar]

Как привести такую форму к каноническому виду над полем вещественных чисел: $x_1^2+4x_2^2+x_3^2+4x_1x_2-2x_1x_3$? Я пытался сделать это, вычислив собственные числа, но они все комплексные.

[Mitrius_Math]

Выделите полные квадраты и сделайте замены и т.д.

[kkar]

Так тоже пробовал, привел к такому виду:
$(x_1+2x_2-x_3)^2+4x_2 x_3$. Теперь нужно сделать такую замену? $y_1=x_1+2x_2-x_3, x_2=y_2-y_3, x_3=y_2+y_3$ - верно?

[Mitrius_Math]

Можно так: $x_1^2+4x_1x_2+4x_2^2=(x_1+2x_2)^2=x_1'^2 \ \to x_1=x_1'-2x_2$...

[мат-ламер]

kkar в сообщении #457995 писал(а):

Как привести такую форму к каноническому виду над полем вещественных чисел: $x_1^2+4x_2^2+x_3^2+4x_1x_2-2x_1x_3$? Я пытался сделать это, вычислив собственные числа, но они все комплексные.

Мне вот любобытно, как у матрицы третьего порядка с действительными коэффициентами все собственные значения получились комплексными?

[gris]

Мне вот любобытно, как у симметрической вещественной матрицы хоть одно собственное значение получилось комплексным?
Ну если только с нулевой мнимой частью...