Порядок элемента группы Q/Z

[Rost.ua]

Доказать, что любой єлемент группы $Q/Z$ имеет конечный порядок.

Док-во:
Пусть $Z+q$ - элемент $Q/Z$, где $q$ принадлежит $Q$.
Далее, $q=a/b$ где $a$ и $b$ - целые. Следовательно $b(Z+q) = Z+qb = Z+a = Z$ (потому что $a$ - целое)
Следовательно $Z+q$ имеет порядок $b$.

Вопрос: почему порядок определен именно так? Ведь должно быть по определению $(Z+q)^b=Z$

[Joker_vD]

Rost.ua в сообщении #457621 писал(а):

Вопрос: почему порядок определен именно так?

Натуральное число $n$ называется порядком элемента $a$ группы $(G,*,e)$, если это наименьшее число такое, что $\underbrace{a*\ldots*a}_{n\text{ раз}}=e$.

В мультипликативных обозначениях это выглядит как $\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ раз}}=a^n=1$.
В аддитивных же обозначениях (и это как раз ваш случай!) это выглядит как $\underbrace{a+\ldots+ a}_{n\text{ раз}}=na=0$.

[Rost.ua]

А аддитивность фактор группы $Q/Z$ получаем из за того, что $Z$ - группа относительно $+$?

[VAL]

Rost.ua в сообщении #457634 писал(а):

А аддитивность фактор группы $Q/Z$ получаем из за того, что $Z$ - группа относительно $+$?

Угу. Более того, по умножению даже $\mathbb Q$ - группа, не говоря уже о $\mathbb Z$

[Joker_vD]

VAL в сообщении #457656 писал(а):

Угу. Более того, по умножению даже $\mathbb Q$ - группа, не говоря уже о $\mathbb Z$

Это такая шутка?

[VAL]

Joker_vD в сообщении #457659 писал(а):

VAL в сообщении #457656 писал(а):

Угу. Более того, по умножению даже $\mathbb Q$ - группа, не говоря уже о $\mathbb Z$

Это такая шутка?

Это я частичку "не" пропустил

[Rost.ua]

Спасибо за ответы.

Продолжаю разбираться в данной фактор группе. Правильны ли мои следующие рассуждения?

Нулевой класс - сама группа $\mathbb{Z}$
Класс, порожденный $1$ — $\{z+\frac1a | z,a \in \mathbb{Z} \}$
Порожденный $2$ — $\{z+\frac2a | z,a \in \mathbb{Z} \}$
и так далее

Необходимо доказать существование подгруппы порядка $n (n \in \mathbb{N})$ - в какую сторону копать?

[Joker_vD]

Rost.ua в сообщении #457774 писал(а):

Правильны ли мои следующие рассуждения?

Нет.

Нулевой класс — это само $\mathbb Z$. Классы, порожденные 1 и 2 (как и любым целым числом), совпадают с нулевым классом. Давайте так: вот у вас есть два числа $a,b\in\mathbb Q$. Какими они должны быть, чтобы попать в один класс эквивалентности?

[Rost.ua]

Цитата:

вот у вас есть два числа . Какими они должны быть, чтобы попать в один класс эквивалентности?

Ну, боюсь ошибиться, но первое что приходит на ум - имеют равные числитель\знаменатель. Причем более склоняюсь к знаменателю

[Joker_vD]

Rost.ua в сообщении #457776 писал(а):

Ну, боюсь ошибиться, но первое что приходит на ум - имеют равные числитель\знаменатель. Причем более склоняюсь к знаменателю

Не-а. Причем тут числители-знаменатели? Вы не гадайте, а используйте знания определений.

[Rost.ua]

Так, начну размышления издалека. $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ - факторгруппа, левый и правый классы смежности совпадают.
Берем элемент $q \in \mathbb{Q}$ тогда
класс смежности, порожденный элементом $q$ —$ \{ qz | z \in \mathbb{Z} \}$.
Таким образом, чтоб $a$ и $b$ попадали в один класс, у них должен быть одинаковый знаменатель, такой-же как и у $q$

[mclaudt]

Одинаковость знаменателя - необходимое условие, но не достаточное. Напишите операцию в аддитивном виде, проще же будет.

[Joker_vD]

mclaudt в сообщении #457783 писал(а):

Одинаковость знаменателя - необходимое условие

Да вы что. $\frac24$ и $\frac32$ в разных классах?

[mclaudt]

Цитата:

Да вы что. $\frac24$ и $\frac32$ в разных классах?

В одних, дробь-то несократимая должна быть . Общепринято, что элементы факторпространства декартового произведения целых чисел на целые числа без нуля по соответствующей операции эквивалентности принято индексировать элементом с $GCD(m,n)=1$.

Если вы намекаете, что надо подчеркнуть этот факт отдельно, я не против.