Нахождение объема тела

[mirh]

Найти объем тела, ограниченный поверхностями $(x^2+y^2)^2=2 x y$, $z=x+y$, $z=0$. Я перешел к цилиндрическим координатам, получился вот такой интеграл $$\int\limits_{0}^{\pi/2} d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt \sin 2 \varphi } $r $ $dr$ \int\limits_{0}^{r (\cos\varphi+\sin\varphi)} dr$$, привел его к повторному интегралу $$\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin {2 \varphi \sqrt\sin 2 \varphi (\cos\varphi+\cos\varphi)} d\varphi. Я не знаю как извлечь этот интеграл, поскажите пожалуйста.

[Алексей К.]

mirh в сообщении #457654 писал(а):

$$\int\limits_{0}^{\pi/2} d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt \sin 2 \varphi } $r $ $dr$ \int\limits_{0}^{r (\cos\varphi+\sin\varphi)} dr$$

Вот я, например, занимаясь другим интегральщиком, не удосужился пока представить себе Ваши поверхности и ограниченные ими тела. Но чисто формально вижу, что в процитированном интеграле дважды интегрируют по $dr$, что $dz$ нигде не фигурирует (а вроде в цилиндрических работаем), что...

Может, бананые очепятки, а может, непонимание сути дела... Пока не осознал.

[mirh]

да, конечно ошибка последний интеграл по $dz$

[mihailm]

Объемов два симметричных, потом на 2 умножить надо,
повторный интеграл надо аккуратнее считать, там треть потеряна и корень не там
решать так например загнать косинус плюс синус под d и через то что за d выразить то что перед

[mirh]

$$\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin {2 \varphi \sqrt{\sin 2 \varphi} (\cos\varphi+\sin\varphi)} d\varphi
такой должен быть интеграл

-- Пн июн 13, 2011 23:28:34 --

после преобразований получил вот что
$$\int\limits_{0}^{\pi/2}(1-(\sin \varphi-\cos\varphi)^2) \sqrt{1-(\sin \varphi-\cos\varphi)^2} d(\sin \varphi-\cos\varphi)

-- Пн июн 13, 2011 23:39:09 --

Все, у меня получилось, спасибо)