Интеграл по отрезку

[vlad_light]

$\int\limits_{\mathrm{AB}}z\mathrm{Re}z^2dz, \mathrm{AB}$-отрезок, $z_A=0, z_B=1+2i$
Напомните, пожалуйста, с чего начать.
Конкретно не помню, как параметризировать отрезок и как раскрыть Re z.
Спасибо!

-- Пн июн 13, 2011 13:26:47 --

Ещё 1 задача:
разложить в ряд лорана функцию $f(z)=\frac{1}{z^2+z}$ в кольце $0<|z|<1$.
Делаю так:
$f(z)=\frac{1}{z^2+z}=\frac{1}{z}-\frac{1}{z+1}=\frac{1}{z}-\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^nz^n=\sum\limits_{n=-1}^\infty (-1)^{(n+1)}z^n$
Я правильно сделал?

-- Пн июн 13, 2011 13:39:08 --

2 задача:
Разложить по степеням $z-1$ ф-цию $f(z)=\sin (\frac{z}{z-1})$.
Делаю так:
$\sin (\frac{z}{z-1})=\sin (1+\frac{1}{z-1})=\sin 1\cos (\frac{1}{z-1})+\cos 1\sin (\frac{1}{z-1})$.
Дальше как?)

[vlad_light]

2 задание сделал. С интегралом подскажите, пожалуйста. И заодно проверьте такой интеграл:
$\int\limits_{|z|=1} z^2 \sin\frac{1}{z}dz$
0 - существенно особая точка, $res_{z=0}f+res_{z=\infty}f=0$
$I=res_{z=0}f=-res_{z=\infty}f$
$z^2 \sin\frac{1}{z}=z-\frac{1}{3!z}+...\Rightarrow c_{-1}=\frac{1}{3!}$
$I=-2\pi i(-\frac{1}{3!})=\frac{\pi i}{3}$

[myra_panama]

vlad_light в сообщении #457456 писал(а):

$f(z)=\frac{1}{z^2+z}=\frac{1}{z}-\frac{1}{z+1}=\frac{1}{z}-\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^nz^n=\sum\limits_{n=-1}^\infty (-1)^{(n+1)}z^n$
Я правильно сделал?

а вы как разложили $\frac1{z}$?

vlad_light в сообщении #457456 писал(а):

Разложить по степеням $z-1$ ф-цию $f(z)=\sin (\frac{z}{z-1})$.

может разложит в ряд Тейлора или просто разложит?

[vlad_light]

Насколько я понял, надо так:
$\frac{1}{z}=\frac{1}{1-(1-z)}=\sum_n (1-z)^n$
$f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty (1-z)^n-\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^nz^n$
Верно?

[Someone]

vlad_light в сообщении #457456 писал(а):

$\int\limits_{\mathrm{AB}}z\mathrm{Re}z^2dz, \mathrm{AB}$-отрезок, $z_A=0, z_B=1+2i$
Напомните, пожалуйста, с чего начать.
Конкретно не помню, как параметризировать отрезок и как раскрыть Re z.

Параметризация отрезка общеизвестная, мне кажется: $z=z_A+t(z_B-z_A)$ (вспомните параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки).
Чтобы ракрыть $\operatorname{Re}z$, вспомните, что это такое, и запишите $z=x+yi$.

[vlad_light]

значит
$I=\int_0^1 t(1+2i)Re(t(1+2i))^2 d(t(1+2i))=(1+2i)^2\int tRe(t(-3+4i))dt=-3(1+2i)^2\int t^2dt=-(1+2i)^2$
след. интеграл(на формулу Коши):
$\int_{|z|=1/2} \frac{dz}{z(z^2+1)}=\int_{|z|=1/2} (\frac{1}{z}- \frac{z}{z^2+1})dz$
Что тут вообще нужно сделать?)