Точки на плоскости

[Xenia1996]

а) Можно ли отметить на плоскости четыре точки A, B, C и D так, чтобы площадь четырёхугольника $ABCD$ ровно вдвое превышала площадь четырёхугольника $ADBC$?
б) Заменить "ровно вдвое" на каждое из положительных вещественных чисел.

[zhekas]

Xenia1996 в сообщении #457295 писал(а):

а) Можно ли отметить на плоскости четыре точки A, B, C и D так, чтобы площадь четырёхугольника $ABCD$ ровно вдвое превышала площадь четырёхугольника $ADBC$?
б) Заменить "ровно вдвое" на каждое из положительных вещественных чисел.

1) $1<p\le2$
Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, с основаниями BC и AD. Тогда ADBC - это два центральных треугольника в пересечении диагоналей.

$$\frac{S_{ABCD}}{S_{ADBC}}=\frac{(BC+AD)^2}{BC^2+AD^2}$$

Взяв отношение оснований равное:

$$\frac{BC}{AD}=\frac{1+\sqrt{2p-p^2}}{p-1}$$

получим искомое отношение.

2) $p\ge2$
Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, с основаниями AB и CD. Тогда ADBC - это два боковых треугольника в пересечении диагоналей.

$$\frac{S_{ABCD}}{S_{ADBC}}=\frac{(AB+CD)^2}{2\cdot AB\cdot CD}$$

Взяв отношение оснований равное:

$$\frac{AB}{CD}=p-1+\sqrt{p^2-2p}$$

получим искомое отношение.

3,4) $p<1$ аналогично. Только теперь трапецией будет ADBC

[MrDindows]

Два треугольника - не есть четырехугольник, к сожалению(

[Xenia1996]

MrDindows в сообщении #457424 писал(а):

Два треугольника - не есть четырехугольник, к сожалению(

К сожалению, Вы правы:
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=31889

[zhekas]

Тогда так

Без ограничения общности будем считать $p>1$

Пусть $BCD$ - равносторонний треугольник

Внутри этого треугольника выберем точку $A$ следующим образом: проведём прямую $l_1$ параллельную $CB$ на расстоянии $\frac1{2p}\cdot h$ от неё и прямую $l_2$ параллельную $BD$ на расстоянии $\frac1{2p+2}\cdot h$ ($h$ - высота треугольника). A - это пересечение $l_1$ и $l_2$.

Тогда отношение площадей четырёхугольников (теперь уже четырёхугольников) ABCD и ADBC равно $p$

[Xenia1996]

zhekas в сообщении #457449 писал(а):

Без обобщения общности

(Оффтоп)

WLOG=without loss of generality=не ограничивая общности.