Задача по комбинаторике

[alisa-lebovski]

Совсем запуталась. Как получается 540? Видимо, так: $3^6-3\times 2^6+3$ (по формуле включения-исключения). Это для фиксированной тройки цифр (без учета порядка). Теперь надо выбрать 3 цифры без учета порядка, это $C^3_{10}=360$. И помножить.

[caxap]

Можно разбить множество разрядов на 3 непустых подмножества (число Стирлинга 2-го рода) и в них разместить различные цифры. Потом выкидываем $1/10$ часть (они начинаются с нуля). У меня получился ответ $58320$.

[Tlalok]

Я честно признаюсь ничего не понял в Ваших рассуждениях. Я теорию чисел никогда не изучал.
Решал задачу исключительно по формулам комбинаторики.
1. Число сочетаний из 10 по 3
2. Число перестановок с повторениями (6 цифр $\left\{ a,a,b,b,c,c \right\}$)
3. Число сочетаний из 9 по 2
4. Число перестановок с повторениями (5 цифр ($\left\ {0,b,b,c,c} \right\}$)
5. $1 \cdot 2 - 3 \cdot 4$
У меня ответ $13 320$

[alisa-lebovski]

В такого рода задачах обычно считается, что число может начинаться с нуля, т.е. каждый из 6 знаков может принимать значение от 0 до 9.

[mihailm]

alisa-lebovski в сообщении #457245 писал(а):

В такого рода задачах обычно считается, что число может начинаться с нуля, т.е. каждый из 6 знаков может принимать значение от 0 до 9.

у Виленкина в этом плане все честно, шестизначные значит шестизначные)
ответ у caxap'а верный
(на мепле проверил)

[caxap]

alisa-lebovski в сообщении #457245 писал(а):

В такого рода задачах обычно считается, что число может начинаться с нуля, т.е. каждый из 6 знаков может принимать значение от 0 до 9.

Не согласен. Когда говорят "шестизначное число", то обычно подразумевают, что 524 им не является.

Посчитал задачку на компьютере полным перебором, чтобы хотя бы ответ был.

(Программа)

#!/usr/bin/ruby -w

m = 0
for n in 100000..999999 do
  if n.to_s.split(//).uniq.size == 3 then
    m = m+1
  end
end

puts m

58320

[мат-ламер]

В своих предыдущих расчётах допустил две ошибки. Во-первых, количество трёхзначных чисел с разными цифрами - $720-72=648$. Теперь результат надо умножить на $90$. Итого - $58320$. Совпадает с ответом. Значит идея верна.

[Whitaker]

mihailm в сообщении #457160 писал(а):

два случая есть: ноль в тройке и нет нуля в тройке

Берем фиксированные три цифры 1,2,3 смотрим сколько из них подходящих чисел настряпать можно и умножаем на сэ из 9 по 3,
аналогично случай с нулем

Я воспользовался идеей, который высказал уважаемый mihailm и в ответе у меня получилось 58320. А это верный ответ. Искренне благодарю всех за оказанную помощь!

[Whitaker]

Заголовок: Задача по комбинаторике

mihailm писал(а):

За несколько дней можно весь миллион случаев вручную перебрать)

Может есть какое хорошее решение, но вижу такое

два случая есть: ноль в тройке и нет нуля в тройке

Берем фиксированные три цифры 1,2,3 смотрим сколько из них подходящих чисел настряпать можно и умножаем на сэ из 9 по 3,
аналогично случай с нулем

Здравствуйте еще раз!
Методом, который изложен выше я сделал, но у меня что-то не получилось. Я так сделал:
Из фиксированного множества {1,1,2,2,3,3} можно сделать ровно 72 шестизначных числа. А потом это число я умножил на число сочетаний из 9 по 6.
Но точно такое рассуждение я сделал, когда содержится нуль, т.е. для множества {0,0,1,1,2,2}.
Сложил эти полученные результаты, но ничего не вышло.
Может быть я где-нибудь неправильно сделал???

[mihailm]

Whitaker в сообщении #457341 писал(а):

Заголовок: Задача по комбинаторике
...
Я так сделал:
Из фиксированного множества {1,1,2,2,3,3} можно сделать ровно 72 шестизначных числа. А потом это число я умножил на число сочетаний из 9 по 6.
...

тут не совсем то)
Начнем:
Из цифр 1,2,3 сколько можно сделать шестизначных чисел?

[Whitaker]

Из цифр 1,2,3 можно сделать ровно 72 шестизначных чисел. Если не ошибся при подсчёте.

[mihailm]

ошиблись

[vvvv]

Если исключить ноль, то правильный ответ - 540
см. ДЖ.РИОРДАН ; ВВЕДЕНИЕ В КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ

p.s. При этом задача монимается так: сколько различных шестибуквенных "слов" можно составить из трех различных букв. Скажем из (а,б,в)

[Whitaker]

mihailm в сообщении #457371 писал(а):

ошиблись

Спасибо уважаемый mihailm! Я сам понял свою ошибку и решил правильно. Всё получилось! Благодарю за оказанное внимание!