Сушествование интеграла по мере

[Leonnn]

Здраствуйте,

Заранее прошу прошение если вопрос окожется ламмерским,

Некоторое время назад проффесор мне сказал что интеграл по мере может не сушествовать если изверимаяа функция равна нулю, (при некоторой мере). Пример принес что то с интегралом Стильтеса, но что именно не помню.
Помогите пожалуста понять как вообше такое возможно ?

Заранее блогадарен

[AD]

Если функция всюду равна нулю, то она измерима и ее интеграл равен нулю по любой мере. Дальше пытаюсь отвечать чисто на телепатии. Если измеримая функция на отрезке равна нулю почти всюду по классической мере Лебега на отрезке - это не значит, что она равна нулю почти всюду по какой-нибудь там мере Стилтьеса, в частности, может быть и не интегрируема. Ну понятно, если нарисовать функцию, равную $+\infty$ в точке $0$ и нулю в остальных точках, то она не будет интегрируема по мере Стилтьеса, определяемой функцией

$$F(x)=\begin{cases}1, x\ge0\\ 0, x<0\end{cases}$$

[nnosipov]

AD в сообщении #454555 писал(а):

Ну понятно, если нарисовать функцию, равную $+\infty$ в точке $0$ и нулю в остальных точках

Интересная у Вас функция. Нарисовать-то сами пробовали?

[Gortaur]

nnosipov
Это делается стрелочкой вверх в точке ноль. Длина стрелки равна значению интеграла от этой функции по окрестности аргумента стрелки.

[nnosipov]

Gortaur в сообщении #454748 писал(а):

nnosipov
Это делается стрелочкой вверх в точке ноль. Длина стрелки равна значению интеграла от этой функции по окрестности аргумента стрелки.

Стрелочка тоже, видимо, непростая, у неё ещё какой-то аргумент имеется, да с окрестностью. Раньше как-то без этого бреда обходились, но разницу между обычными и обобщёнными функциями понимали.

[Gortaur]

А как же, я же написал, что стрелочку в точке ноль.

[AD]

nnosipov в сообщении #454699 писал(а):

AD в сообщении #454555 писал(а):

Ну понятно, если нарисовать функцию, равную $+\infty$ в точке $0$ и нулю в остальных точках

Интересная у Вас функция. Нарисовать-то сами пробовали?

Жалко, конечно, что придется бампнуть уже утонувшую тему ради такой фигни, но был афк, а ответить хочется.
Конечно, речь идет не о какой-нибудь-там супер-пупер-обобщенной дельта-функции, а о самой обычной функции со значениями в расширенной числовой прямой; интеграл от нее по классической мере Лебега равен, конечно, нулю, а само понятие интеграла Лебега вполне с такими функциями дружит. Вы зря среагировали на стандартные слова, которые я произнес буквально, хотя обычно их произносят с "как бы" и совсем в другом смысле. Разницу между обычными и обобщенными функциями понимаю, а вот Вы этого предпочли не видеть, ну и ой на вас.

[nnosipov]

AD в сообщении #457208 писал(а):

а о самой обычной функции со значениями в расширенной числовой прямой; интеграл от нее по классической мере Лебега равен, конечно, нулю, а само понятие интеграла Лебега вполне с такими функциями дружит.

Это где про это написано? Интересно сейчас учат.

[AD]

nnosipov в сообщении #457213 писал(а):

AD в сообщении #457208 писал(а):

а о самой обычной функции со значениями в расширенной числовой прямой; интеграл от нее по классической мере Лебега равен, конечно, нулю, а само понятие интеграла Лебега вполне с такими функциями дружит.

Это где про это написано? Интересно сейчас учат.

С. Сакс "Теория интеграла" (1949г., оригинал 1939г.), в самом начале во введении:

Цитата:

В пространстве $X$ мы будем рассматривать функции множества и функции точки. Значения этих функций мы считаем всегда вещественными числами, конечными или бесконечными. Функцию мы назовем конечной, если она принимает только конечные значения.

Еще вопросы? Это с древнейших пор так всегда было в теории интеграла Лебега, и до сих пор так и продолжается во всех учебниках, потому что это удобно и естественно. Жду от Вас ссылки на учебник по теории меры, где рассматриваются только всюду конечные функции.

[nnosipov]

AD в сообщении #457222 писал(а):

Еще вопросы? Это с древнейших пор так всегда было в теории интеграла Лебега.

Ладно, ладно, не горячитесь. Что-то я не припоминаю, было ли подобное в книге Колмогорова и Фомина "Элементы ...", по которой меня учили (Кашин, кажется, читал, а он, я помню, придерживался именно этой книжки).

[AD]

Ну ладно, ясность наступила - и хорошо. Уф. Тоже не уверен насчет КФ.

-- Вс июн 12, 2011 21:28:39 --

Сейчас, то есть вы даже не произносили таких замечательных слов, что "интегрируемая функция почти всюду конечна"? А как же замечательные задачки на теорему Б.Леви типа

"Доказать, что ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac1{k^2\sqrt{|x-r_k|}}$, где $r_k$ --- это все рациональные числа отрезка $[0,1]$, сходится почти всюду на $[0,1]$"

[nnosipov]

Преподавать этот курс мне не приходилось, поэтому сейчас помню его плохо. Теорема Леви, разумеется, была, задача, которую Вы привели, вполне понятна и так (не из Кириллова и Гвишиани ли она взята?). На семинарах у нас обсуждались вполне приличные задачи, не думаю, что в мои годы уровень преподавания на мехмате был ниже теперешнего. Но ни ТФДП, ни теорией меры я никогда не увлекался.