Порождающая функция для количества решений уравнения

[Imaginarium]

Здравствуйте.

Не могу составить порождающую функцию для числа решений уравнения:

$$x_1+x_2+...+x_8=35$$

при условии, что первые четыре переменных принимают только четные значения, а оставшиеся- $\le5$.

Когда начал решать "обычным" способом, то получилось вот что:

$$x_1+...+x_4+(x_5+5)+(x_6+5)+(x_7+5)+(x_8+5)=35$$

отсюда получим:

$$x_1+x_2+...+x_8=15$$

так как каждую из переменных $x_1,x_2,x_3,x_4$ можно представить как $2y_i$, то в итоге имеем:

$$2(y_1+y_2+y_3+y_4) +x_5+x_6+x_7+x_8= 15$$

Как дальше решать, а уж тем более, с помощью производящих функций, я не представляю (мы ими никогда не пользовались, типа сами должны догадаться).
Подскажите пожалуйста, ВИД производящей функции. Видимо, там при 35-м или 15-м члене при раскрытии скобок должен стоять коэффициент, являющийся ответом.

[deep blue]

Догадаться до решения с нуля, не работая ранее с производящими функциями, тяжело имхо, а вообще задача простая.
Начнем с азов (причем от обратного, это хороший компромис между досканальным раскладыванием по полочкам либо выписыванием готового решения).
Вот есть производящая функция:

$$f(x)=(x^2+x^3+x^4+x^5)^{777}$$

Вопрос: для числа решений какого уравнения(и с какими условиями на его переменные) эта п.ф.? т.е. коэффициент при $x^r$ (для заданного r) в разложении будет равен числу решений некоего уравнения, спрашивается -какого?
Как только найдете и поймете суть, пробуйте обобщать эту задачку до вашей, она практически такая же. (Геометрическую прогрессию внутри скобок просто возьмите на заметку, но не сворачивайте ее до получения готового ответа)

Да, и кстати, вот это сведение одной задачи к другой в корне неверно:

Цитата:

а оставшиеся- $\le5$.

Когда начал решать "обычным" способом, то получилось вот что:

$$x_1+...+x_4+(x_5+5)+(x_6+5)+(x_7+5)+(x_8+5)=35$$

Такое простое сведение задачи к базовой(без ограничений вообще) было бы верным при условии $\ge5$, но не при условии $\le5$.
В этом случае, простым добавлением или вычитанием ограничений - не отделаться. Ошибку поймите сами.

[Imaginarium]

Спасибо, что ответили)

Цитата:

Вот есть производящая функция:

$$f(x)=(x^2+x^3+x^4+x^5)^{777}$$

Вопрос: для числа решений какого уравнения(и с какими условиями на его переменные) эта п.ф.?

Мне кажется, что данная ПФ для числа решений уравнения

$$x_1+x_2+...+x_{777}= $$

ммм... не знаю пока чему именно оно равно, в котором $1\le x_i\le6$
И у меня вопрос еще один, методический: если бы Вам задали такую же задачу, как и Вы мне, то какие книги бы Вы стали читать?

[deep blue]

Эта п.ф. для числа решений уравнения:

$$x_1+x_2+...+x_{777}=r$$

Коэффициент в степенном ряду(производящей функции) при степени $x^r$ и будет равен числу решений такого уравнения.
Ограничения на значения переменных $2 \le x_i\le5$
Как сделать возможные значения переменных четными- очевидно- надо оставить только четные степени. Чтобы решить вашу задачу надо совместить эти идеи для начальных переменных по-своему и для конечных переменных по-своему.

В книжке Виленкина "Комбинаторика" написано достатончо. стр 91-92: в целом о числе решений уравнения (число способов размещения одинаковых предметов по различным ящикам); стр. 217-...: знакомство с методом производящих функций; стр 249-250 немного про данную п.ф. и там же упражнение 11- упрощенная версия вашей задачи. В упражнении 11- подразумевается, что нужно найти п.ф. и соответственно коэффициент при $x^m$ и будет ответом.

[VAL]

Imaginarium, для самоконтроля. Число решений - 834390