Задача по комбинаторике

[Whitaker]

Здравствуйте уважаемые форумчане!
Недавно я начал изучение комбинаторики по книжке Виленкина так как у меня всегда возникали трудности при решении комбинаторных задач. Решаю все задачи оттуда, но наткнулся на задачу, которую пока не смог решить уже несколько дней.

Сколько шестизначных чисел содержат ровно три различные цифры?

P.S. Использовал следующую идею, но не получилось.
Например так: От общего количества шестизначных чисел отнял количество шестизначных чисел у которого цифры различны еще количество шестизначных чисел у которого только две цифры различны и.т.д. Но не смог найти количество последнего. Буду очень рад если кто-нибудь чем-нибудь поможет.

[alisa-lebovski]

Во-первых, надо выбрать эти 3 различные цифры (с учетом порядка).
Во-вторых, когда вы заполняете этими цифрами 6 знаков, вам надо выбрать два момента (между знаками), где вы переключаетесь с первой цифры на вторую, и со второй на третью.

[Whitaker]

alisa-lebovski в сообщении #457125 писал(а):

Во-первых, надо выбрать эти 3 различные цифры (с учетом порядка).
Во-вторых, когда вы заполняете этими цифрами 6 знаков, вам надо выбрать два момента (между знаками), где вы переключаетесь с первой цифры на вторую, и со второй на третью.

Первое - понятно, а во второе - не совсем. Что вы имеет в виду?

[alisa-lebovski]

Ну вот, у вас есть первая цифра, вы ее пишите один раз, другой раз... В какой-то момент вам надо переключится и начать писать вторую цифру, сколько-то раз. Потом переключиться на третью и ее написать сколько-то раз, не меньше одного.

[Tlalok]

Может воспользоваться формулой для перестановок с повторениями?

Давайте отойдем от обощений поближе к конкретике.
У Вас есть набор цифр $\left\{ {1,1,2,2,3,3,} \right\}$.
Сколько различных шестизначных чисел можно из него составить?

[alisa-lebovski]

Да, я не учла, что цифры могут идти не порядку. Надо еще учесть перестановки.

[Whitaker]

alisa-lebovski в сообщении #457135 писал(а):

Да, я не учла, что цифры могут идти не порядку. Надо еще учесть перестановки.

Спасибо Вам! Сейчас попробую всё это "сложить" и решить задачу.

[alisa-lebovski]

Нет, если цифры не по порядку, все сложнее. Зря я взялась советовать.

[mihailm]

Whitaker в сообщении #457111 писал(а):

Здравствуйте уважаемые форумчане!
...
но наткнулся на задачу, которую пока не смог решить уже несколько дней.
Сколько шестизначных чисел содержат ровно три различные цифры?
...

За несколько дней можно весь миллион случаев вручную перебрать)

Может есть какое хорошее решение, но вижу такое

два случая есть: ноль в тройке и нет нуля в тройке

Берем фиксированные три цифры 1,2,3 смотрим сколько из них подходящих чисел настряпать можно и умножаем на сэ из 9 по 3,
аналогично случай с нулем

[Tlalok]

alisa-lebovski
Задача не очень сложная. На две формулы. Перестановки с повторениями и число сочетаний.

-- Вс июн 12, 2011 18:37:31 --

[мат-ламер]

Задача эквивалентна такой - а сколько трёхзначных чисел с разными цифрами. Надо учесть, что первая цифра отлична от нуля.

[Tlalok]

Немного похожа, но не эквивалентна.

[мат-ламер]

А, понял ошибку. Если бы первая цифра могла быть нулём, то да. А так, нет.

[Tlalok]

(Оффтоп)

мат-ламер
А теперь я не понял. Что именно эквивалентного Вы увидели в этих задачах?

[мат-ламер]

Tlalok Мне показалось, что повторяющиеся цифры можно выкинуть. Виноват, ошибся.

-- Вс июн 12, 2011 21:36:18 --

Я бы решал так. Рассмотрис тромчную систему исчисления. Всего чисел из шести цифр - $3^6$. Из них, надо выбрать числа, содержащие все три цифры - их $540$ . Это число надо разделить на $6$ - количество перестановок из трёх цифр. Теперь вспоминаем задачу о том, сколько чисел из различных трёх цифр. Их $830$. Теперь умножаем первое количество на второе. Всего получается 7470$$ вариантов. Возможно в расчётах ошибся. А у кого сколько получается?