Цепь Маркова из положительных частей сумм

[--mS--]

_hum_ в сообщении #450922 писал(а):

Хотелось бы его (решение из книги) все-таки увидеть, и убедиться, что оно, действительно, как вы говорите, неверное.

Параграф 8.1, задача 4, п. (в) - стр. 135 (издание 1975 г) условие, стр. 296 - решение. В издании 1996 г. всё то же самое, кроме номеров стр.

[Gortaur]

Алиса, а как Вы вышли на эту плотность? Из условия что данная дробь постоянна?

[alisa-lebovski]

Не совсем. Это сводится к задаче о постоянном распределении перескока при переходе от $x>0$ в отрицательную область. Т.е. должно быть отсутствие последействия, а это свойство показательного распределения (только в отрицательную сторону). Потом я взяла оба хвоста показательными симметрично, и попробовала подставить.

Но это, на самом деле, неважно, поскольку не приближает нас к решению исходной задачи.

[Gortaur]

Это могло бы (и может) быть важно в том смысле, что сколько уровней памяти таким образом можно убрать у положительной суммы.

В любом случае, очевидно что исходить надо из вероятности при условии $S^+_{n-1} = 0$. По сути же тут два пути - либо пытаться брать другое множество для $S_3$ (что по идее не должно помочь), либо добавить еще один уровень.

[_hum_]

Да, похоже, вы правы - решение в Вентцеле некорректное.
Может, тогда для доказательства немарковости попытаться "поиграться" с тем, что, если я правильно понимаю, $P(S_{n+3}^+>0|S_{n+2}^+=0,S_{n+1}^+=x) $ от $n$ не зависит, а $P(S_{n+3}^+>0|S_{n+2}^+=0) $, по-видимому, должно (интуитивные соображения: с ростом $n$, распределение вероятностей сумм расползается, а значит, должна уменьшаться возможность прибавлением значения с.в. $\xi$ перевести отрицательную сумму $S_{n+2}$ в положительную $S_{n+3}$).

[alisa-lebovski]

Задачу все-таки добили, кому интересно.

Прежде всего, условное распределение $S_3$ при условии $S_2\le 0,S_1\le 0$ или при условии $S_2\le 0,S_1=x>0$ есть свертка распределения $\xi_3$ с условным распределением $S_2$ при тех же условиях (поскольку эти условия $\xi_3$ не затрагивают). Так что достаточно рассмотреть вероятности $P(S_2<u|S_2\le 0,S_1\le 0)$ и $P(S_2<u|S_2\le 0,S_1=x), u<0, x>0,$ и проверить их неравенство. Вторая вероятность равна $F(u-x)/F(-x)$ и должна быть постоянна по $x$. Отсюда следует, что $F(u), u<0$ должна иметь вид $ae^{cu}, a>0, b>0,$ отсюда плотность $p(u)$ при $u<0$ равна $ace^{cu}$, а $P(S_2<u|S_2\le 0,S_1=x)=e^{cu}$. Далее, $P(S_2<u|S_2\le 0,S_1\le 0)=P(S_2<u,S_1\le 0)/P(S_2\le 0,S_1\le 0).$ Числитель и знаменатель выражаем через повторные интегралы, во внешний интеграл (по отрицательным значениям $S_1$) подставляем найденную плотность, а внутренние выражаем через функцию распределения $F$. После замены переменной в верхнем интеграле, у нас остается $e^{cu},$ умноженное на отношение интегралов от выражения $F(-z)e^{cz}$ - один от минус бесконечности до нуля, а другой от минус бесконечности до $u$. Но поскольку подынтегральное выражение всюду положительно, эти интегралы не равны. Следовательно, и вероятности $P(S_2<u|S_2\le 0,S_1\le 0)$ и $P(S_2<u|S_2\le 0,S_1=x)$ не равны.

[--mS--]

Интересно, спасибо.

alisa-lebovski в сообщении #456536 писал(а):

... а другой от минус бесконечности до $u$.

от минус бесконечности до $-u$.

А точно для распределений $F$, $G$, $H$ с (всюду положительными) плотностями (не х.ф.) совпадение свёрток $F*G=F*H$ влечёт $G=H$? Вроде так, но нигде не нахожу подтверждения, что подозрительно.

[alisa-lebovski]

Блин! В Феллере сказано, что может и не влечь. Надо еще, чтобы характеристическая функция распределения $F$ не обращалась в тождественный нуль ни на каком отрезке.

[--mS--]

Если Вы имеете в виду классический пример с двумя х.ф., совпадающими на целом отрезке, то этот пример не в тему. У нас все распределения непрерывны. Но именно поэтому и вопрос.

[alisa-lebovski]

Проблема не в непрерывности распределений. Могут совпадать на отрезке, например, вогнутые полигоны, которые представляют собой смеси треугольных х.ф., соответствующих непрерывным распределениям с плотностью $(1-\cos(ax))/(\pi a x^2)$ на всей прямой. Феллер, глава XV, параграф 2.

[--mS--]

Да, дискретность не обязательна, это я маху дала.