Парабола не в канон. коорд-х; где я ошибаюсь?

[SleepWalker]

Дано ур-е параболы
$3x^2+12x+16y-12=0$
Необходимо найти координаты фокусы и ур-е директрисы.
Я сделал следующее
$3(x+2)^2-12+16y-12=0$
$3(x+2)^2+16y-24=0$
$3(x+2)^2+8(2y-3)=0$
$(x+2)^2=-\frac{8}{3}(2y-3)$
$\tilde{x}^2=-\frac{8}{3}\tilde{y}$
Получаем параметр параболы
$p=-\frac{4}{3}$
Фокус
$\tilde{F}(0;-\frac{2}{3})$
$F(-2;\frac{7}{6})$
C ответом не сошлось, раз уж фокус не сошелся, то про директрису вообще молчу)
Думаю я неправильно нахожу $\tilde{y}$
В ответе абцисса также -2, а ордината $\frac{1}{6}$

[mihailm]

замену приведите

[SleepWalker]

mihailm в сообщении #457089 писал(а):

замену приведите

В смысле? Что у меня за $\tilde{x}$ и $\tilde{y}$ ?

У меня в предыдущем сообщении всё расписано в принципе:

Цитата:

...
$(x+2)^2=-\frac{8}{3}(2y-3)$
$\tilde{x}^2=-\frac{8}{3}\tilde{y}$
...

Отсюда видно, что у меня
$\tilde{x}= x+2$
$\tilde{y}= 2y-3$

[mihailm]

это же не ортогональная замена)

[SleepWalker]

mihailm в сообщении #457095 писал(а):

это же не ортогональная замена)

Вот сейчас только что бродя по этому форуму и "услышал" впервые про ортогональную замену, что метод Лагранжа такого не дает.

Где можно почитать про ортогональную замену? Желательно с разобранными примерами)

Это случайно не приведение линий второго порядка к главным осям? 0_о

[Kallikanzarid]

Для вас сойдет специальная ортогональная замена координат, это всего лишь композиция сдвига, дилатации и линейной замены вида $\begin{bmatrix}\cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi\end{bmatrix}$.

[Someone]

SleepWalker в сообщении #457092 писал(а):

$\tilde{y}= 2y-3$

Ошибка здесь.

SleepWalker в сообщении #457097 писал(а):

Где можно почитать про ортогональную замену?

В учебнике.
Если записать замену координат в матричной форме, то получится

$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}\tilde x\\ \tilde y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_0\\ y_0\end{pmatrix},$$

где $P$ - матрица перехода. Она должна быть ортогональной, то есть, должно выполняться равенство $P^*P=E$, где $P^*$ -транспонированная матрица, а $E$ - единичная (то есть, $P^{-1}=P^*$). У Вас

$$P=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&\frac 12\end{pmatrix}.$$

[Алексей К.]

Представьте себе, что у Вас парабола $y=4x^2$. Вы делаете замену вроде $\tilde y=y,\;\tilde x=2x$, тем самым подменяя Вашу параболу параболой $\tilde y={\tilde x}^2$.
Каждый бывший квадратик исходной системы координат Вы растягиваете (или сжимаете) в неквадратный прямоугольник. А так нельзя...