линейные операторы

[Oleg Zubelevich]

$X,Y$ -- линейные нормированные пространства. $X',Y'$ -- соответствующие топологически сопряженные.
$A:X\to Y$ -- линейные оператор. $A^*$ -- алгебраически сопряженный.

Доказать, что если $A^*(Y')\subseteq X'$ то $A$ -- непрерывен.

[Kallikanzarid]

Идея простая.

$A^*\omega := \omega \circ A$. Задачу можно переформулировать следующим образом:

Пусть $A: X \to Y$ - линейный оператор. Доказать, что если для любого непрерывного $\omega \in Y'$ $\omega \circ A$ непрерывно, то $A$ непрерывен.

Достаточно для произвольного не непрерывного $A$ построить непрерывный $\omega$ такой, что $\omega \circ A$ не непрерывен.

Пусть $\varepsilon > 0$. Рассмотрим функцию $x(\delta)$ такую, что $\|x(\delta)\| < \delta$, но $\|Ax(\delta)\| > \varepsilon$; иными словами, $x(\delta)$ сходится к нулю при $\delta \to 0$, но $Ax(\delta)$ не сходится к нулю. Построим такой непрерывный линейный функционал $\omega \in Y'$, что $\omega(Ax(\delta))$ не сходится к нулю. Вот тут я в тупике, произвольные нормированные пространства не такие хорошие, чтобы легко это сделать. Есть идея рассмотреть функционал

$$\alpha_e(y) := \operatorname*{arg\,inf}_{\beta \in K}\|y - \beta e\|,$$

но я пока не знаю, линеен ли он и найдется ли такое $e \in Y$, что $\alpha_e$ будет удовлетворять нужному условию.

[Oleg Zubelevich]

Стандартный факт: подмножество нормированного пространства ограничено тогда и только тогда когда оно слабо ограничено.

[Kallikanzarid]

ОК, буду думать :)