Отношение порядка случайных векторов

[alisa-lebovski]

Известно ли (может быть, как-нибудь называется) такое отношение случайных векторов (и соответствующих многомерных распределений): можно построить вектора с такими распределениями на одном вероятностном пространстве так, чтобы один был не меньше другого покомпонентно, с вероятностью единица. В одномерном случае это эквивалентно соответствующему отношению хвостов распределений, а здесь, к сожалению, нет.

В частности, интересует такой вопрос: если $1\le A\le B$ и $F(x_1,x_2)$ - двумерная функция распределения, верно ли, что распределение $F^A(x_1,x_2)$ не больше распределения $F^B(x_1,x_2)$ в указанном смысле?

[Хорхе]

Вот что выяснил. Есть такое отношение, и оно эквивалентно такому (см. Shaked "Stochastic Orders"): для любой возрастающей (покоординатно) функции $f:\mathbb R^n \to \mathbb R$ выполнено $E[f(X)]\le E[f(Y)]$.

Утверждение, интересующее Вас, пока мне кажется неправильным, но контрпример сходу не придумаю.

[alisa-lebovski]

Спасибо.

Для целых $A,B$ оно верно (просто берутся максимумы по столько раз от независимых случайных векторов покомпонентно), проблема для нецелых.

[--mS--]

alisa-lebovski в сообщении #454254 писал(а):

Известно ли (может быть, как-нибудь называется) такое отношение случайных векторов (и соответствующих многомерных распределений): можно построить вектора с такими распределениями на одном вероятностном пространстве так, чтобы один был не меньше другого покомпонентно, с вероятностью единица.

Это принято называть просто "стохастическим сравнением": $\vec{\xi}\leqslant_{st}\vec{\eta}$. Например, см. А.Маршалл, И.Олкин "Неравенства: теория мажоризации и ее приложения", М.: Мир, 1983, гл. 17, раздел А, определение А.3 и раздел В, теорема В.1.

В частности, равносильное сравнению $X \leqslant_{st} Y$ условие (4') раздела А:

Цитата:

$\mathsf P(X\in A)\leqslant \mathsf P(Y\in A)$ для всех измеримых $A\subset \mathbb R^n$, индикаторные функции которых покоординатно не убывают

вроде бы, решает положительно вопрос про степени функций распределения.

Upd.: Или не решает. Не вижу, как это показать.

[alisa-lebovski]

Да, боюсь, все не так просто. Если взять, например, множество $[x_1,+\infty]\times [x_2,+\infty], то вероятность попадания в него при функции распределения $F^s$ будет $1-F^s(x_1,+\infty)-F^s(+\infty,x_2)+F^s(x_1,x_2)$, и надо (как минимум) показать, что с ростом $s$ она растет. Но тут два слагаемых растут, а третье убывает. Если выписать производную, там тоже ничего хорошего не видно.

[--mS--]

alisa-lebovski в сообщении #454448 писал(а):

Но тут два слагаемых растут, а третье убывает.

Ну, тут-то понятно.

(Оффтоп)

"Но даже тогда роль комсомола росла не так быстро, как падала" (КВН 1987)

$1\geqslant F(x_1,+\infty)\geqslant F(x_1,x_2)\geqslant 0$, соответственно, степень правой части $F^s (x_1,x_2)$ убывает по $s$ быстрее.

[alisa-lebovski]

Это верно только асимптотически при $s\to\infty$. Если взять производную от $x^s$ по $s$, получится $x^s\ln x$ - эта функция не монотонна по $x\in (0,1)$.

[alisa-lebovski]

Для множеств $A=[x_1,+\infty]\times [x_2,+\infty]$ вроде доказала.
Вопрос в том, достаточно ли этого.

[alisa-lebovski]

Нашла Маршалла, Олкина. Много всего интересного, но в данном случае без толку.

[--mS--]

--mS-- в сообщении #454398 писал(а):

alisa-lebovski в сообщении #454254 писал(а):

Известно ли (может быть, как-нибудь называется) такое отношение случайных векторов ...

Это принято называть просто "стохастическим сравнением": $\vec{\xi}\leqslant_{st}\vec{\eta}$. Например, см. А.Маршалл, И.Олкин "Неравенства: теория мажоризации и ее приложения", М.: Мир, 1983, гл. 17, раздел А, определение А.3 и раздел В, теорема В.1.

alisa-lebovski в сообщении #456542 писал(а):

Нашла Маршалла, Олкина. Много всего интересного, но в данном случае без толку.

Что, неужели нет термина "стохастически меньше/больше"? Наверное, страницы выдраны...

[alisa-lebovski]

Я имею в виду, без толку для решения моей задачи.

[--mS--]

Это да, увы. И примеры противного что-то не строятся.