Замкнутая ломаная на плоскости и в пространстве

[Xenia1996]

а) На плоскости проведена замкнутая 14-звенная ломаная, у которой каждые два соседних звена взаимно перпендикулярны. Какое наибольшее число точек самопересечения она может иметь?
б) Тот же вопрос, но в пространстве.
в) Обобщить пункты а) и б) до n звеньев.

[haku]

а) 15.
Обобщение: $\sum_{i=1}^{\frac{1}{2}n - 2}i = \frac{(\frac{1}{2}n - 1)(\frac{1}{2}n - 2)}{2}$

[Xenia1996]

haku в сообщении #456649 писал(а):

а) 15.
Обобщение: $\sum_{i=1}^{\frac{1}{2}n - 2}i = \frac{(\frac{1}{2}n - 1)(\frac{1}{2}n - 2)}{2}$

Если не секрет, как Вы к решению пришли?

[haku]

Из условия следует, что у нас есть 7 вертикальных и 7 горизонтальных отрезков (их количество должно быть равно).
Начертим горизонтальный отрезок $AB$. Разделим его на 6 равных частей 7-ю вертикальными прямыми. Возьмём точку C на первой прямой ($AC$). Из неё проведём отрезок параллельный $AB$ к 6-ой прямой ($CF). Отметим на 6-ой прямой точку $F_1$ симметричную $F$ относительно $AB$. Из неё проведём отрезок ко 2-ой прямой. На 2-ой прямой отметим точку $D$, лежащую выше $C$, и проведём из неё отрезок к 4-ой прямой. По аналогии. Получим, что с каждым новым вертикальным отрезком количество точек пересечения уменьшается на единицу. Начальное количество на 2 меньше, т. к. эти 2 точки являются концами отрезка $AB$.

[Xenia1996]

haku в сообщении #456662 писал(а):

Из условия следует, что у нас есть 7 вертикальных и 7 горизонтальных отрезков (их количество должно быть равно).
Начертим горизонтальный отрезок $AB$. Разделим его на 6 равных частей 7-ю вертикальными прямыми. Возьмём точку C на первой прямой ($AC$). Из неё проведём отрезок параллельный $AB$ к 6-ой прямой ($CF). Отметим на 6-ой прямой точку $F_1$ симметричную $F$ относительно $AB$. Из неё проведём отрезок ко 2-ой прямой. На 2-ой прямой отметим точку $D$, лежащую выше $C$, и проведём из неё отрезок к 4-ой прямой. По аналогии. Получим, что с каждым новым вертикальным отрезком количество точек пересечения уменьшается на единицу. Начальное количество на 2 меньше, т. к. эти 2 точки являются концами отрезка $AB$.

http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=31845