при каких n Z/{ax^n+by^n} конечно?

[NiGHTeR]

помогите решить:

нужно найти такие $n$ что существуют некоторые $a, b$ такие, что для множества
$\mathbb{X} [ax^n+by^n|x,y \in \mathbb{Z}]$ множество $\mathbb{Z}\setminus \mathbb{X}$ конечно.

мой ход решения:
при $n=1$ достаточно взять $ a=b=1$. Тогда $\mathbb{X} \equiv \mathbb{Z}$. При $n>1$ рассмотрим множество $\mathbb{T} [t \in \mathbb{X}|t\ne{0}(\mod m^n) \forall m \in \mathbb{Z}]$
тогда если некоторый простой $p \notin \mathbb{T}$ то $\forall m \in \mathbb{Z}$ $pm^n \notin {T} \Rightarrow \notin{X} \Rightarrow \in{Z}$

тогда $\mathbb{Z}\setminus \mathbb{X}$ не конечно.
а как доказать существование такого p я не знаю(

[ИСН]

$\mathbb{Z}/\mathbb{X}$ - это что такое? Фактор-пространство знаю, фактор-группу знаю, но как делить множество на множество - - -

[NiGHTeR]

ну множество Z без X

[ИСН]

А, $\mathbb{Z}\setminus\mathbb{X}$.
Один студент © пришёл на форум, смотрит, хоп, а у него на клавиатуре плюс сломался. Ну, он и решил писать вместо него минус - авось догадаются, не тупицы же.
- Как разложить на множители $x^4-4$?
- Ну, разность квадратов...
- Да нет же! Не $x^4-4$, а $x^4-4$!
Обиделся форум, и послал ему красный луч желудочной ненависти.

[NiGHTeR]

да я еще в теге math не разобрался(

[ИСН]

Скажу по существу. Обсудим n=4. Допустим, у нас есть такие a и b. Допустим, они больше 1/100.
Сколько в нашем красивом $\mathbb X$ может быть чисел меньше миллиона?
Ну, x пробегает от 0 (меньше нет смысла - там повторяется всё) до 100 (дальше мы вылетаем за миллион).
Ну, y тоже.
Сколько же мыслимо парных комбинаций? Даже если все они целые и все разные?
Сто на сто.
А надо миллион.
---------
Дальше уж смотрите, насколько это можно изложить строго и обобщить.

[NiGHTeR]

еще a и b натуральные)

то есть

n - нечетное тогда рассмотрим сколько чисел по модулю меньших $10^{\alpha n}$ в $\mathbb{X} $ => $x <10^{\alpha}+1$, $y<10^{\alpha}+1$ =>
таких чисел в $\mathbb{X}$ меньше $10^{2\alpha} $а в $\mathbb{Z}$ их $10^{n\alpha}$ тогда число чисел в Z\X больше чем $10^{n\alpha}-10^{\alpha}$ которое неограниченно.

-- Пт июн 10, 2011 22:42:57 --

спасибо)

[ИСН]

Не за что. Я же Вам не открыл главной тайны, без которой доказательство не поплывёт.