К вопросу о размерностях...

[bayak]

Спасибо, lek, за пояснения. Однако хотел бы ещё спросить, - А у Вас нет ощущения, что такой подход к новой физике не достаточно красив математически?

[lek]

bayak в сообщении #455464 писал(а):

А у Вас нет ощущения, что такой подход к новой физике не достаточно красив математически?

Понятие красоты весьма субъективное. У меня такого ощущения нет... А что вас смущает?

[type2b]

Munin в сообщении #455006 писал(а):

Этот объект и закон ничем не обоснованы

Это не так. Браны естественным образом появляются в теории струн, они в теории оказываются необходимы.

На бранах заканчиваются открытые струны, поэтому возбуждения открытых струн локализованы на бране. Гравитон -- возбуждение замкнутой струны, поэтому он может летать везде.

[Munin]

type2b в сообщении #455505 писал(а):

Это не так. Браны естественным образом появляются в теории струн, они в теории оказываются необходимы.

Браны - да. Мировая брана случайно нужной размерности - нет.

[bayak]

lek в сообщении #455467 писал(а):

Понятие красоты весьма субъективное. У меня такого ощущения нет... А что вас смущает?

Что-то тут не так. Априори теория многомерной гравитации строится расширением 4-мерного псевдориманова многообразия пространства-времени, но не факт, что физически осмысленное расширенное многообразие вообще обладает квадратичной метрикой. Если уж обобщать теорию, то расширенное многообразие следует наделять финслеровой метрикой.
Кроме того, в теории предполагается, что топология расширенного пространства порождается метрикой, а красивее было бы наоборот, если бы метрика порождалась топологией. Например так, - топология пространства $S^{3}\times S^{1}$ индуцирует на обмотке этого произведения сфер метрику Минковского, а топология $S^{3}\times S^{3}\times S^{1}$ индуцирует уже некую финслерову метрику.

[lek]

bayak в сообщении #455771 писал(а):

... не факт, что физически осмысленное расширенное многообразие вообще обладает квадратичной метрикой.

Потенциально не исключено. Непонятно, правда, какая физика здесь возникает...

bayak в сообщении #455771 писал(а):

Если уж обобщать теорию, то расширенное многообразие следует наделять финслеровой метрикой.

Почему именно финслерова? Риманова метрика (репер) описывает гравитон. Какое физическое поле вы связываете с финслеровой метрикой?

[lek]

Bulinator в сообщении #454972 писал(а):

Ну... потому я и сослался на книгу Херстейна. Полистайте доказательство.

Такое ощущение, что мы говорим с вами на разных языках. Попробую еще раз... При нахождении размерностей SYM-теорий сравнивается число бозонных и фермионных мод. Ни о каких алгебрах здесь и речи нет.

Наоборот, при описании композиционных алгебр совершенно нет нужды использовать какие-либо симметрии. Достаточно лианеризировать тождество композиционности $n(xy)=n(x)n(y)$ и затем применить несколько элементарных фактов из линейной алгебры. Кстати, доказательство, изложенное в книге Хернстейна, является отнюдь не лучшим. Никакие SYM-теории здесь не возникают.

Общим является только набор чисел $1,2,4,8$ - число независимых мод в первом случае и размерности композиционных алгебр во втором.

[lek]

Bulinator, посмотрел доказательство у Херстейна более внимательно. Вы были правы. Там вылезает условие $2^{t}\leq2t+2$. Не совсем то, что надо. Но весьма похоже...

[Bulinator]

lek в сообщении #456281 писал(а):

Не совсем то, что надо.

Ну там с точностью до выбора $t$. Ведь можно выбрать $t$ равным размерности алгебры или кол-ву мнимых элементов $e_k$. Они отличаются на единицу.

[lek]

Если быть точным, то в приведенном выше неравенстве параматр $t$ принимает значения $0,1,2,3$. Но это не важно... Интересно то, что и в том и в другом случае задача сводится к исследованию представлений алгебры Клиффорда $Cl_{0,d-1}(\mathbb R)$. Просто при описании размерностей SYM-теорий надо рассмотреть представления группы $Spin(d)$, которая вложена в эту алгебру, а при описании размерностей композиционных алгебр следует рассмотреть представления конечной группы, элементы которой образуют канонический базис алгебры Клиффорда. Условие же на размерность и в том и в другом случае можно сформулировать следующим образом: при каких значениях $d$ размерность представления алгебры Клиффорда $Cl_{0,d-1}(\mathbb R)$ совпадает с числом порождающих этой алгебры плюс 1.

[Bulinator]

lek в сообщении #456523 писал(а):

при каких значениях $d$ размерность представления алгебры Клиффорда $Cl_{0,d-1}(\mathbb R)$ совпадает с числом порождающих этой алгебры плюс 1.

Не совпадает а делится на.

А еще с эитми алгебрами связаны так называемые отображения(расслоения) Хопфа. Чтобы не писать все снова, дам ссылку на соседнюю тему где я их уже описывал:http://dxdy.ru/post395127.html#p395127

[lek]

Bulinator в сообщении #456539 писал(а):

Не совпадает а делится на

Согласен...

Bulinator в сообщении #456539 писал(а):

А еще с эитми алгебрами связаны так называемые отображения(расслоения) Хопфа.

В курсе... Кстати, и здесь алгебра октонионов стоит особняком. Расслоение $S^{7}\to S^{15}\to S^{8}$ не является главным...

[bayak]

lek в сообщении #455884 писал(а):

Почему именно финслерова? Риманова метрика (репер) описывает гравитон. Какое физическое поле вы связываете с финслеровой метрикой?

Если риманова метрика описывает гравитацию в 4-мерном пространстве, то она же будет описывать её в расширенном пространстве с финслеровой метрикой. Достаточно ограничить финслерову метрику на соответствующее 4-мерное подпространство. Что касается физических полей, которые можно было бы связать с финслеровой метрикой, то финслерово расстояние можно было бы сопоставить физическому действию а метрические связности физическим полям.

Но лично мне больше нравится другой способ конструирования новой физики,- не с помощью расширения метрической геометрии, а с помощью обобщения и расширения векторной модели гравитации, в которой векторное поле пространства Минковского индуцирует гравиметрический тензор псевдориманова многообразия.

lek в сообщении #456523 писал(а):

Условие же на размерность и в том и в другом случае можно сформулировать следующим образом: при каких значениях $d$ размерность представления алгебры Клиффорда $Cl_{0,d-1}(\mathbb R)$ совпадает с числом порождающих этой алгебры плюс 1.

Алгебра тесно связана с топологией, - только на 1,3,7-мерной сферах максимальное число линейно независимых векторных полей совпадает с размерностями этих сфер.

[lek]

Bulinator в сообщении #456539 писал(а):

Не совпадает а делится на.

Точнее и конструктивнее будет так: при каких значениях $d$ размерность неприводимого представления алгебры Клиффорда $Cl_{0,d-1}(\mathbb R)$ совпадает с числом порождающих этой алгебры плюс 1.[/quote]

Действительно, алгебры $Cl_{0,d-1}(\mathbb R)$ изоморфны матричным алгебрам $\mathbb R$, $\mathbb C$, $\mathbb H\oplus\mathbb H $, $\mathbb R(8)\oplus\mathbb R(8)$ при $d=1,2,4,8$ соответственно. Неприводимые представления этих алгебр реализуются в своих минимальных левых идеалах. А размерности последних над полем $\mathbb R$ равны $1,2,4,8$.

-- Сб июн 11, 2011 10:59:53 --

bayak в сообщении #456699 писал(а):

Достаточно ограничить финслерову метрику на соответствующее 4-мерное подпространство.

Не кажется ли вам, что такое ограничение носит весьма искуственный характер. Ведь выбор размерности подпространства при таком подходе совершенно произволен.

bayak в сообщении #456699 писал(а):

финслерово расстояние можно было бы сопоставить физическому действию

Это можно сделать, если рассматривать аналог движения свободной частицы в пространстве Минковского. Но этого бесконечно мало... Если переходить от римановой геометрии к финслеровой, то просто необходимо иметь альтернативу ОТО.

bayak в сообщении #456699 писал(а):

а метрические связности физическим полям.

Опять же, каким полям? Формально математически такие связности построить не трудно. Гораздо труднее придать физический смысл такой математике...

bayak в сообщении #456699 писал(а):

Но лично мне больше нравится другой способ конструирования новой физики,- не с помощью расширения метрической геометрии, а с помощью обобщения и расширения векторной модели гравитации, в которой векторное поле пространства Минковского индуцирует гравиметрический тензор псевдориманова многообразия.

Такая терминология ничего мне не говорит...

bayak в сообщении #456699 писал(а):

Алгебра тесно связана с топологией, - только на 1,3,7-мерной сферах максимальное число линейно независимых векторных полей совпадает с размерностями этих сфер.

Это так.

[bayak]

lek в сообщении #456701 писал(а):

Такая терминология ничего мне не говорит...

Это я о собственной игрушке

lek в сообщении #456701 писал(а):

Это так.

Тем самым алгебры Клиффорда и соответствующие им спинорные группы являются производными от касательных векторных полей этих сфер.

Что касается подходящей размерности и топологии физически осмысленного расширенного пространства, то произвол как раз и должен устранятся выбором физической алгебры. Если в качестве такого эталона взять алгебру матриц Дирака, то она появляется при конструировании касательных векторных полей 7-мерной гиперсферы, лежащей в 8-мерном псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (4,4). Это следует из другого моего опуса.