Доброго времени суток, господа математики.
Прошу у Вас совета. Можете ли Вы предложить менее громоздкое обоснование возможности дифференцирования под интегралом для
![$I(a, b) = \int\limits_0^{+\infty} \! \frac{\arctg(ax) - \arctg(bx)}{x}, \{a > 0, b > 0\}$ $I(a, b) = \int\limits_0^{+\infty} \! \frac{\arctg(ax) - \arctg(bx)}{x}, \{a > 0, b > 0\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/8/2e88bcb8a76e8e01a1ee4eda1b5849f682.png)
, чем вот это?
1. Положим
![$f(x, a, b) = \frac{\arctg(ax) - \arctg(bx)}{x}, \,\, a \geqslant \delta > 0, b \geqslant \delta > 0.$ $f(x, a, b) = \frac{\arctg(ax) - \arctg(bx)}{x}, \,\, a \geqslant \delta > 0, b \geqslant \delta > 0.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/f/ddf3dec45fc6bd1d7c485341368783f282.png)
2. Рассмотрим
![$g(x, a, b) = x (\arctg(ax) - \arctg(bx)), h(x) = \frac{1}{x^2}.$ $g(x, a, b) = x (\arctg(ax) - \arctg(bx)), h(x) = \frac{1}{x^2}.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/c/71c72c318e31e52da3f5691609ae07f482.png)
3. Рассмотрим
![$x \in (0, \frac{1}{\sqrt{ab}}), x \in(\frac{1}{\sqrt{ab}}, +\infty)$ $x \in (0, \frac{1}{\sqrt{ab}}), x \in(\frac{1}{\sqrt{ab}}, +\infty)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/e/cde0199b65ff52886e52776fbb804dd982.png)
— это промежутки монотонности
![$\arctg(ax) - \arctg(bx)$ $\arctg(ax) - \arctg(bx)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/a/70adea63df75fdd9f194cad44ef31cf582.png)
на
![$x \in (0, +\infty). \,\, x$ $x \in (0, +\infty). \,\, x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/5/7952a29aff57725a786db6b6221b19ee82.png)
монотонен везде на
![$(0, +\infty),$ $(0, +\infty),$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/c/79ca5b84be9b69e9f3562880811de20182.png)
значит,
![$G(x, a, b)$ $G(x, a, b)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/1/3c1c4519ace44ca3d39679139d4bd61182.png)
монотонно возрастает с
![$G(0, a, b) = 0$ $G(0, a, b) = 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/4/2f46769e4d4991d2c17383116784a6bb82.png)
до
![$G(\frac{1}{\sqrt{ab}}, a, b),$ $G(\frac{1}{\sqrt{ab}}, a, b),$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/7/b07031ff8fa69532f6820f454e9bc64c82.png)
а затем монотонно возрастает либо убывает до
![$G(+\infty, a, b) = \lim\limits_{x \to +\infty}G(x, a, b).$ $G(+\infty, a, b) = \lim\limits_{x \to +\infty}G(x, a, b).$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/e/d2e69a78b78e8bcd8d2ea2c719c630eb82.png)
4.
![$G(x, a, b) < \frac{2\pi}{\delta}.$ $G(x, a, b) < \frac{2\pi}{\delta}.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/6/b76f77cc7706a405a8ab8e6ea97a929a82.png)
5.
![$\int\limits_0^{+\infty} \! h(t) dt$ $\int\limits_0^{+\infty} \! h(t) dt$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/5/5e544f37b6d4f8d0807b6a0d1794ac5b82.png)
сходится.
6. Следовательно,
![$I(a, b)$ $I(a, b)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/5/3f50c43f9a3899b0358c7eaec8d0b42982.png)
сходится (по Дирихле-Абелю) при
![$\forall a \geqslant \delta > 0, \forall b \geqslant \delta > 0.$ $\forall a \geqslant \delta > 0, \forall b \geqslant \delta > 0.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/9/be9be2fc6f77fced6b3aa81b2652707682.png)
7. Возьмём от
![$f(x, a, b)$ $f(x, a, b)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/8/258fa03e39a049ae74479ae630269e7282.png)
производную по
![$a: \,\, f'_a(x, a, b) = \frac{1}{1+a^2x^2}.$ $a: \,\, f'_a(x, a, b) = \frac{1}{1+a^2x^2}.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/a/faad017d7f30e7c738a48564cdc3bb6182.png)
8.
![$\int\limits_0^{+\infty} \! f'_a(x, a, b)dx$ $\int\limits_0^{+\infty} \! f'_a(x, a, b)dx$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/1/cc18a55bf5fe46cdbcff77f7b016fd5e82.png)
сходится равномерно по Дирихле-Абелю, в силу того что 1 равномерно ограничен, и
![$\leqslant \frac{1}{\delta^2 R} < \varepsilon.$ $\leqslant \frac{1}{\delta^2 R} < \varepsilon.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/d/91d843a0e036cb74eae18a5264d804e282.png)
Вот.
Можно ли эту «скатерть» как-нибудь покороче без потери смысла переписать?