Электромагнетизм

[PPrivett]

По трем длинным параллельным проводам, удаленным друг от друга на одинаковое расстояние d=0.4 мм проходят токи силой I=10A, -I, -2I.
Найти ГМТ точек в пространстве, где индукция магнитного поля, создаваемого токами, равна нулю. Какую силу нужно приложить к каждому метру проводника с током -2I, чтобы он находился в равновесии?
мой рисунок:

индукция равна нулю, когда
$B_1+B_2+B_3=0$
Индукция для бесконечного провода
$B=\frac {\mu_0 I} {2 \pi R}$
$R_1=R$
по теореме косинусов можно выразить
$R_2 = f (R_1, d, {\frac 2 3 \pi} - \alpha)$
$R_3 = f (R_1, d, \pi - \alpha)$
подставить в формулу $B_1+B_2+B_3=0$
получится громоздкое выражение с большой степенью. Может надо решать по-другому? И еще не знаю как решать вторую часть задачи(условие равновесия)

[whiterussian]

Нарисуйте направления векторов в точке.

[PPrivett]

[whiterussian]

А теперь почитайте учебник. Как направлен вектор поля?

[PPrivett]

почитаю вернусь)

[PPrivett]

[whiterussian]

Читайте еще раз.

[PPrivett]

Поперечное сечение, ток I направлен от нас. Направление силовых линий определяется по правилу правого винта(буравчика). В точке А вектор индукции лежит на касательной к силовой линии. Верно?

[PPrivett]

Кто-нибудь поможет найти ошибку? Если она есть

[profrotter]

1. Введите цилиндрическую систему координат. Возможно тут будет рационально центр системы координат поместить в центр равностороннего треугольника, в вершинах которого располагаются проводники с током.
2. Сделайте сначала рисунок для одного проводника (пусть ему присвоен номер 1), положение которого характеризуется радиус-векором $\overrightarrow{r_1}'$, он располагается на расстоянии $r_1'$ под уголом $\alpha_1$. Точка, в которой рассматривается поле характеризуется радиус-векором $\overrightarrow{r}$, располагается на расстоянии $r$ от начала системы координат под углом $\alpha$ от оси $x$.

3. Вектор $\overrightarrow{r_1}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_1}'$ соответствует радиус-векору точки, в которой рассматривается поле в системе координат, в центре которой находится проводник, $r_1=|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_1}'|$ Вектор индукции магнитного поля в рассматриваемой точке: $\overrightarrow{B_1}=[\overrightarrow{z^0},\frac {\overrightarrow{r_1}} {r_1}]B_1(r_1)$, где $\overrightarrow{z^0}$ - орт оси $z$, $B_1(r_1)=\pm \frac {\mu_0 I} {2\pi r_1}$ (в зависимости от направления тока).
4.

$$[\overrightarrow{z^0},\frac {\overrightarrow{r_1}} {r_1}]=\frac 1 {r_1} [\overrightarrow{z^0},\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_1}']=\frac 1 {r_1} ([\overrightarrow{z^0},\overrightarrow{r}] - [\overrightarrow{z^0},\overrightarrow{r_1}'])=$$

$$=\frac 1 {r_1} (\frac {[\overrightarrow{z^0},\overrightarrow{r^0}]} {r} - \frac {[\overrightarrow{z^0},\overrightarrow{r_1^0}']} {r_1^0'})=\frac 1 {r_1} (\frac {\overrightarrow{\alpha^0}} {r} -\frac {\overrightarrow{\alpha_1^0}} {r_1^0'})$$

где $\overrightarrow{\alpha^0}$ азумутальный орт, соответствующий точке в которой исследуется поле, $\overrightarrow{\alpha_1^0}$ - азимутральный орт, соответствующий точке расположения проводника, $\overrightarrow{r^0}$ - орт направления на точку, в которой исследуется поле, $\overrightarrow{r_1^0}'$ - орт направления на проводник.
5. Таким образом для трёх проводниов:

$$\overrightarrow{B_1}= (\frac {\overrightarrow{\alpha^0}} {r} -\frac {\overrightarrow{\alpha_1^0}} {r_1^0'}) \frac {B_1(r_1)} {r_1}$$

$$\overrightarrow{B_2}= (\frac {\overrightarrow{\alpha^0}} {r} -\frac {\overrightarrow{\alpha_2^0}} {r_2^0'}) \frac {B_2(r_2)} {r_2}$$

$$\overrightarrow{B_3}= (\frac {\overrightarrow{\alpha^0}} {r} -\frac {\overrightarrow{\alpha_3^0}} {r_3^0'}) \frac {B_3(r_3)} {r_3}$$

6. Решаете уравнение:

$$\overrightarrow{B_1}+\overrightarrow{B_2}+\overrightarrow{B_3}=0$$

При необходимости учитываете, что если вектор равен нулю, то все его координаты тоже равны нулю. В результате решения получаете $r$ и $\alpha$.

[profrotter]

Ошибся.

4.

$$[\overrightarrow{z^0},\frac {\overrightarrow{r_1}} {r_1}]=\frac 1 {r_1} [\overrightarrow{z^0},\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_1}']=\frac 1 {r_1} ([\overrightarrow{z^0},\overrightarrow{r}] - [\overrightarrow{z^0},\overrightarrow{r_1}'])=$$

$$=\frac 1 {r_1} ([\overrightarrow{z^0},\overrightarrow{r^0}] r - [\overrightarrow{z^0},\overrightarrow{r_1^0}'] r_1')=\frac 1 {r_1} ( \overrightarrow{\alpha^0} r - \overrightarrow{\alpha_1^0}r_1')$$

где $\overrightarrow{\alpha^0}$ азумутальный орт, соответствующий точке в которой исследуется поле, $\overrightarrow{\alpha_1^0}$ - азимутральный орт, соответствующий точке расположения проводника, $\overrightarrow{r^0}$ - орт направления на точку, в которой исследуется поле, $\overrightarrow{r_1^0}'$ - орт направления на проводник.
5. Таким образом для трёх проводниов:

$$\overrightarrow{B_1}= (\overrightarrow{\alpha^0} r -\overrightarrow{\alpha_1^0} r_1') \frac {B_1(r_1)} {r_1}$$

$$\overrightarrow{B_2}= (\overrightarrow{\alpha^0}r - \overrightarrow{\alpha_2^0} r_2') \frac {B_2(r_2)} {r_2}$$

$$\overrightarrow{B_3}= (\overrightarrow{\alpha^0}r -\overrightarrow{\alpha_3^0}r_3') \frac {B_3(r_3)} {r_3}$$

6. Решаете уравнение:

$$\overrightarrow{B_1}+\overrightarrow{B_2}+\overrightarrow{B_3}=0$$

[PPrivett]

более удачное решение получается в декартовых координатах(в полярных так и не получилось)

[profrotter]

Это я вам сначала писал про решение в полярной на скорую руку. Согласен, тут придётся переходить в декартову:
$\overrightarrow{\alpha^0}=-\overrightarrow{x^0}\sin(\alpha)+\overrightarrow{y^0}\cos(\alpha)$
$\overrightarrow{\alpha_{1,2,3}^0}=-\overrightarrow{x^0}\sin(\alpha_{1,2,3})+\overrightarrow{y^0}\cos(\alpha_{1,2,3})$
$\alpha_{1,2,3}$ - полярный угол 1,2,3-го провода(известно)
$x=r\cos(\alpha)$
$y=r\sin(\alpha)$
$\overrightarrow{\alpha^0} r=-\overrightarrow{x^0}y+\overrightarrow{y^0}x$
$\overrightarrow{\alpha_1^0} r_{1,2,3}'=-\overrightarrow{x^0}y_{1,2,3}'+\overrightarrow{y^0}x_{1,2,3}'$
где $x_{1,2,3}',y_{1,2,3}'$ - координаты 1,2,3-го провода (известно)
$r_{1,2,3}=\sqrt{(x-x_{1,2,3}')^2+(y-y_{1,2,3}')^2}$

$$\overrightarrow{B_{1,2,3}}= (-\overrightarrow{x^0}(y-y_{1,2,3}')+\overrightarrow{y^0}(x +x_{1,2,3}')) \frac {B_{1,2,3}(\sqrt{(x-x_{1,2,3}')^2+(y-y_{1,2,3}')^2})} {\sqrt{(x-x_{1,2,3}')^2+(y-y_{1,2,3}')^2}}$$

Там посмотрите, если будет необходимость - может я где и ошибся. Надо было сразу писать, что не получается.