Несколько элементарных задач на динамику и энергию

[Alfucio]

Здравствуйте!

(Извините, пожалуйста, сейчас понял, что разместил тему не в том подразделе. Если возможно, пожалуйста, перенесите тему в подраздел «Помогите решить / разобраться (Ф)».)

Если возможно, подскажите, пожалуйста, по нескольким задачам.

1) Санки массы $m$ скатываются с начальной нулевой скоростью с горы высотой $h$ и останавливаются у подножия горы. Найти работу силы трения снега.

Решение.
В задаче нет информации об угле. Мне кажется, что угол здесь имеет значение. Пусть это будет угол $\alpha$ (может быть, угол не имеет значения? :) ).

Тогда расстояние, которое пройдут санки, высчитывается следующим образом:
$\sin \alpha = \frac{h}{s} \Rightarrow s = \frac{h}{{\sin \alpha }}$

Найдем силу реакции опоры $N$:
$\cos \alpha = \frac{P}{N} \Rightarrow N = \frac{P}{{\cos \alpha }}$

Тогда сила трения $\[{F_{friction}} = {f_{friction}} \cdot N = \frac{P}{{\cos \alpha }} \cdot {f_{friction}}\]$, где $\[{f_{friction}}\]$ — коэффициент трения.

Угол между вектором элементарного перемещения и вектором силы трения равен 180 градусам, поэтому работа будет равна $\[\int\limits_0^{\frac{h}{{\sin \alpha }}} {\frac{P}{{\cos \alpha }} \cdot {f_{friction}}\;ds} = \frac{{P \cdot h}}{{\cos \alpha \cdot \sin \alpha }} \cdot {f_{friction}}\]$.

Подскажите, пожалуйста, верно ли рассуждаю?

2) Колесно B радиуса R катится без скольжения вверх с угловой скоростью $\omega = const$. Определить кинетическую энергию колеса. Тело S движется поступательно со скоростью $v_s = kt$, $k = const$. $\alpha$ — угол наклона плоскости. Определить механическую энергию колеса в момент времени $t$.



Я понимаю себе так. Задачу можно решить с помощью теоремы Кёнига: $\[T = \frac{{mv_c^2}}{2} + \frac{{{I_c}{w^2}}}{2}\]$, где $v_c$ — скорость центра колеса.

$\[{v_c} = \sqrt {{{(\cos \alpha \cdot {\omega ^2} \cdot {R^2} - kt)}^2} + (\sin \alpha \cdot {\omega ^2} \cdot {R^2})} \]$ (находится, например, через теоремы косинусов); $\[{I_c} = m{R^2}\]$ — момент инерции для кольца.

Тогда кинетическая энергия T как функция $T(t)$ найдена.

$\[\Pi = mg\left( {{h_0} + \cos \alpha \cdot \omega \cdot R \cdot t} \right)\]$, где $\[{h_0}\]$ — первоначальная высота («такая ли» потенциальная энергия имеется в виду; понимается ли здесь, что нужно найти механическую энергию как сумму потенциальной и кинетической?).

Подскажите, пожалуйста, верно ли рассуждение?

3) Если возможно, подскажите, пожалуйста, как начать решать следующую задачу:

Однородное тело весом P вращается вокруг точки o по закону $\[\varphi = \varphi (t)\]$. Точка o движется по оси x по закону $\[{x_0} = {x_0}(t)\]$. Момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку o, равен $\[{I_0}\]$. Расстояние от точек o до центра тяжести тела равно a. Найти механическую энергию тела.



(Кинетическая энергия в задаче ищется без проблем, а как найти здесь потенциальную? Или, возможно, в этот раз также механическую нужно искать как-то по-другому, через теорему, например?)

Заранее спасибо!

[мат-ламер]

Попробуйте найти в первой задаче более простое решение. Надо ли в третьей задаче говорить о потенциальной энергии, если неизвестно в какой плоскости (горизонтальной, вертикальной) вращается тело?

[Alfucio]

1) Пока, к сожалению, не удается найти более простое решение про санки. Как мне кажется, можно попытаться применить теорему об изменении чего-то, но пока не додумался. Буду думать :). Подскажите, пожалуйста, а как я решил, это верно?
2) Подскажите, пожалуйста, если в третьей задаче плоскость горизонтальная, то можно ли рассчитывать отрицательную энергию по формуле $m \cdot g \cdot h$, где $h$ — расстояние от центра тяжести тела до оси $X$ (или в данном случае рассматривать тело как материальную точку (центр тяжести) нельзя, так как тело достаточно большое по сравнению с его положением над осью $X$)?

Прошу подсказать еще по одной задаче:
Шарик массы $m$ движется с высоты $h_0$ с начальной скоростью $v_0$ по гладкой проволоке в вертикальной плоскости $zOx$. Найти кинетическую энергию шарика в момент, когда он достигает высоты $h_1$.



Можно ли решить, используя следующие рассуждения:
На шарик действует только сила тяжести, поэтому шарик совершает движение в потенциальном силовом поле, и его полная механическая энергия постоянна.

Тогда ${T_1} = \frac{{mv_0^2}}{2} + mg\left( {{h_0} - {h_1}} \right)$?

[photon]

Alfucio в сообщении #455586 писал(а):

1) Пока, к сожалению, не удается найти более простое решение про санки.

Подумайте в направлении энергии

-- Ср июн 08, 2011 13:01:57 --

Alfucio в сообщении #455586 писал(а):

Можно ли решить, используя следующие рассуждения:

можно

[Alfucio]

Если попытаться с санками использовать то же самое свойство, что и с задачей про шарик?

Можно ли считать силовое поле, которое образуется за счет влияния силы трения и силы притяжения, потенциальным? Если да, то тогда получается, что у тела была потенциальная энергия в начале $m \cdot g \cdot h_0$, а в конце стала равна $0$. Кинетическая энергия в обоих случаях равна нулю, так как скорость в начале равна нулю и так как санки остановились в конце по условию задачи.

Но тогда изменение (уменьшение) полной (механической) энергии и было совершено как раз за счет уменьшения потенциальной энергии. Тогда работа силы трения снега и равна $-m \cdot g \cdot h_0$ (но уже со знаком минус).

Подскажите, пожалуйста, можно ли так рассуждать? Если да, то получается мое первое решение является неверным? Если возможно, прошу подсказать, если это так, в каком месте я совершаю первую ошибку в первом решении :).

[Alfucio]

Сейчас подумал, а нужно ли говорить в задаче про санки про то, что силовое поле будет потенциальным? И я не знаю, если честно, будет ли оно таким.

Если просто рассмотреть то, что кинетическая энергия в обоих точках равна нулю, потенциальная изменилась, то это как раз и будет совершенная отрицательная работа снегом?

[BISHA]

Alfucio в сообщении #455722 писал(а):

Если просто рассмотреть то

При скатывании вся потенциальная энергия потрачена на работу против силы трения. При подъёме есть и то и другое.

[мат-ламер]

Цитата:

Можно ли считать силовое поле, которое образуется за счет влияния силы трения и силы притяжения, потенциальным?

Насчёт поля силы трения я не понял. А поле тяготения потенциально. Первая задача в первом посте решена неправильно. В условие не оговаривалось, что склон имеет постоянный угол наклона. Более того, если угол наклона постоянный, то санки в конце пути будут иметь максимальную скорость. А по условию они в конце склона останавливаются - противоречие. Решайте через закон сохранения знергии.

[Alfucio]

Да, получается, что верным является второе решение первой задачи, где как раз используется то, что «теряется» механическая энергия как раз из-за совершенной отрицательной работы. Первое мое решение задачи, получается, полностью не соответствуют условию задачи. Спасибо!

Если возможно, подскажите, пожалуйста, по следующей задаче:
Однородный шар катится без скольжения по плоскости xOy. При этом $\omega_z = 0$, угловые скорости $\omega_x, \omega_y$ известны. Найти кинетическую энергию шара.

Мне кажется, нужно решать через «общую» формулу кинетической энергии твердого тела:
$\[T = \frac{1}{2}MV_C^2 + \frac{1}{2}\left( {{I_x}\omega _x^2 + {I_y}\omega _y^2 + {I_z}\omega _z^2 - 2{I_{yz}}{\omega _y}{\omega _z} - 2{I_{zx}}{\omega _z}{\omega _x} - 2{I_{xy}}{\omega _x}{\omega _y}} \right)\]$

Только не могу понять, что подразумевается под угловыми скоростями. Подскажите, пожалуйста, в какой точке (каких точках) приложены векторы этих угловых скоростей? Правильно ли я понимаю, что эти векторы параллельны осям X, Y, Z?

[мат-ламер]

Цитата:

Подскажите, пожалуйста, в какой точке (каких точках) приложены векторы этих угловых скоростей? Правильно ли я понимаю, что эти векторы параллельны осям X, Y, Z?

Приложены к центру. Понимаете правильно.

[Alfucio]

мат-ламер в сообщении #456640 писал(а):

Цитата:

Подскажите, пожалуйста, в какой точке (каких точках) приложены векторы этих угловых скоростей? Правильно ли я понимаю, что эти векторы параллельны осям X, Y, Z?

Приложены к центру. Понимаете правильно.

Я пытаюсь сообразить :). Если я правильно понимаю, то эти величины еще можно рассматривать и как проекции мгновенной (абсолютной) угловой скорости твердого тела на оси координат X, Y, Z. Тогда, если $\omega_z = 0$, то вектор мгновенной (абсолютной) угловой скорости определяется однозначно, осталось только приложить его в какой-то точке.

Но если в условии сказано, что шар катится без скольжения по плоскости xOy, то самая нижняя точка шара (точка касания с плоскостью xOy) будет иметь нулевую абсолютную скорость. Но тогда получается, что эта точка принадлежит оси мгновенного (абсолютного) вращения?

Подскажите, пожалуйста, правильно ли я получил последние рассуждения, что все-таки вектор мгновенной (абсолютной) угловой скорости будет приложен в точке касания шара с плоскостью xOy?

[мат-ламер]

Alfucio. Я механикой в последний раз интересовался в школе. Так что на последний Ваш вопрос пусть ответит кто-то по-компентентнее. Но к решению задачи это не имеет отношения. Последняя Ваша формула от 10 июня и условия задачи подразумевают, что движение шара представляет сумму двух движений - поступательного с постоянной скоростью и вращения вокруг центра. Возможно можно решать задачу через мнгновенный центр вращения. Я только не понимаю - зачем это нужно.

-- Сб июн 11, 2011 21:54:06 --

Внимательно посмотрел на Вашу формулу ещё раз. Если у Вас $I_x=I_y$ - момент инерции шара относительно центра, то вращение надо рассматривать именно относительно центра. Если это - момент инерции шара относительно какой-то точки поверхности шара (его ещё надо найти), то можете считать, что шар вращается вокруг точки касания шара с поверхностью, по которой он движется.

[Alfucio]

Извините, пожалуйста, что долго не отвечал.

Я ориентировался на решение задачи 340 из II тома «Теоретической механики в примерах и задачах» М. И. Батя, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзона, 1956 год. Решение начинается с 295 страницы (насколько я понимаю, картинку с вырезкой нельзя здесь вставить из-за нарушения авторских прав?).

Там говорится, что кинетическая энергия твердого тела в общем случае вычисления по формуле
$\[T = \frac{1}{2}MV_C^2 + \frac{1}{2}\left( {{I_x}\omega _x^2 + {I_y}\omega _y^2 + {I_z}\omega _z^2 - 2{I_{yz}}{\omega _y}{\omega _z} - 2{I_{zx}}{\omega _z}{\omega _x} - 2{I_{xy}}{\omega _x}{\omega _y}} \right)\]$,
где $M$ — масса твердого тела, $V_C$ — скорость его центра тяжести C; $I_x, I_y, I_z$ — осевые моменты инерции; $I_{yz}, I_{zx}, I_{xy}$ — центробежные моменты инерции твердого тела относительной осей, связанных с шаром, начало которых совмещено с центром тяжести C твердого тела, $\omega_{x}, \omega_{y}, \omega_{z}$ — проекции мгновенной (абсолютной) угловой скорости твердого тела на соответствующие оси декартовых координат.

То есть подразумевается, насколько я понимаю, что вращение можно рассматривать не обязательно относительно центра тяжести твердого тела.

И тогда вопрос для меня остается открытым: можно ли считать, что в условии задачи даны именно $\omega_{x}, \omega_{y}, \omega_{z}$, то есть проекции мгновенной (абсолютной) угловой скорости твердого тела на оси координат X, Y, Z.

И можно ли считать, что раз шар катится без скольжения по плоскости xOy, и раз самая нижняя точка шара (точка касания с плоскостью xOy) будет иметь нулевую абсолютной скорость, то тогда эта точка будет принадлежать оси мгновенного (абсолютного) вращения и вектор мгновенной (абсолютной) угловой скорости приложен в точке касания шара с плоскостью xOy?

[мат-ламер]

Что авторы задачи имели в виду - им виднее. Рискну предположить, что задачу можно решать по разному. Т.е. предполагая, что угловые скорости заданы относительно центра. Можете для контроля решить и вторым способом, предполагая, что происходит вращения вокруг точки касания шара и плоскости. Первое слагаемое вроде должно занулиться. По идее скольжения здесь быть не должно и точка касания будет иметь нулевую мнговенную скорость.

[Alfucio]

мат-ламер в сообщении #460366 писал(а):

Что авторы задачи имели в виду - им виднее. Рискну предположить, что задачу можно решать по разному. Т.е. предполагая, что угловые скорости заданы относительно центра. Можете для контроля решить и вторым способом, предполагая, что происходит вращения вокруг точки касания шара и плоскости. Первое слагаемое вроде должно занулиться. По идее скольжения здесь быть не должно и точка касания будет иметь нулевую мнговенную скорость.

Спасибо! Буду думать еще :).