Сумма с биномиальными коэффициентами

[nnosipov]

Кто-нибудь напишет доказательство упомянутой делимости? Просто любопытно, как это можно доказать по-другому.

[Руст]

nnosipov в сообщении #455378 писал(а):

Кто-нибудь напишет доказательство упомянутой делимости? Просто любопытно, как это можно доказать по-другому.

Доказать можно по индукции. Запишем $(1+i\sqrt{2007})^n=2^{n-1}(a_n+ib_n\sqrt{2007}$ и вычислим
$a_{n+1}=\frac{a_n-2007b_n}{2}=b_{n+1}\mod 4, b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}.$
Далее доказываем их нечетность при четных n возведением в квадрат, при нечетных умножением четного на нечетный.

Другой способ доказать нечетность в случае, когда n степень двойки и делимость при дополнительном умножении. Правда тут остается доказывать на не делимость на дополнительную степень и тем самым не возможность обращения в 0 для $B_n$. Последнее можно доказать с учетом

$$B_n=C*223^{v_{223}(n)}3^{v_3(n)}\mod 223^{v_{223}(n)+1}3^{v_3(n)+1}.$$

[nnosipov]

Руст, спасибо. Конечно, есть доказательство по индукции, но оно --- завуалированная форма естественного рассуждения, опирающегося на тот факт, что число $(1+\sqrt{-2007})/2$ принадлежит кольцу целых чисел поля $\mathbb{Q}(\sqrt{-2007})$.

[RIP]

nnosipov в сообщении #455350 писал(а):

Что всё-таки известно про меру иррациональности таких арксинусов?

Конечность следует из теории линейных форм от логарифмов алгебраических чисел (см., например, введение здесь). Для двух логарифмов стандартная ссылка — M. Laurent, M. Mignotte, and Yu. Nesterenko, Formes linéaires en deux logarithmes et déterminants d′interpolation, J. Number Theory 55:2 (1995), 285–321 (Upd. хотя не уверен, что из этой статьи даже конечность получится: здесь результаты хуже асимптотически, но лучше для приложений). Оценки получаются совершенно конские.

[nnosipov]

RIP, спасибо за комментарий и ссылки. Хоть как-то прояснилось.