Площадь фигуры, ограниченной кривыми. Криволинейные интеграл

[TatianaK]

Попалась мне, с первого взгляда, совершенно стандартная задачка: найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y ^ 2 = x ^ 3 $ и $ y ^ 2=8(6 - x ^ 3)$
Решала в лоб. Получается неберущийся интеграл от выражения $ \sqrt {8(6 - x^3)}$
Нашла теорему о среднем. Преподавателя это не устроило - не проходили. Вычисляла приближенно - смотреть не стал, сказал, что надо вычислять площадь с помощью криволинейного интеграла 2 типа. Я использую формулу:
$\int x dy - y dx$
Когда дохожу до участка $y=\sqrt{ 8(6-x^3)}$ ( $ x=\sqrt[3] {(16/3)} $ ; $ x=\sqrt[3] 6 $) получаю; $ \int \frac {\sqrt{ 2 (x^3 + 12)}} { \sqrt{6-x^3} } $ Опять неберущийся. Подскажите, что не так?

[AKM]

Корни так пишутся: \sqrt{..........}

[TatianaK]

Ну, извините. Первый раз пишу у вас на форуме. В следующий раз будет правильно

[Yu_K]

http://www.math24.ru/greens-formula.html - формулу Грина проходили? Пример 9 - там кривая параметризована - Вам тоже можно параметризовать части кривой, хотя можно остаться и в декартовых координатах. Тут все должно быть подобрано так чтобы плохие интегралы сократились. И удобно фигуру разбить на две части симметричные.

[Алексей К.]

Не верится, однако, что формула Грина спасёт задачу.
Все эти способы как бы эквивалентны, начнём считать $x\,dy-y\,dx$, упрёмся в те же неберущиеся интегралы и спец. функции. Удачная параметризация кривой означала бы существование "удачной" замены переменных и беручесть интеграла.

Ведь задачка-то преполагается типовой, простой. Что ж за преподаватель такой необщительный?

[Yu_K]

Да что-то не так... я попробовал в вольфрам-альфа и к интегралу по $y$ перейти, и по $x$, но там такие крокодилы...

[TatianaK]

Yu_K, спасибо за идею. Пока не понимаю как это применить. Буду думать.
Была мысль параметризовать, уж больно там красиво все получается. Но и сама ничего не придумала, и аналогичного не нашла. Смущают разные степени х и у.
Алексей, я сначала подумала, что в условии ошибка. Ведь это среднестатистический типовик. Преподаватель ничего сложного во всем этом не видит. Я в тупике

[Yu_K]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC расскажите потом что получилось - но что-то кажется без гипергеометрических функций не обойтись... ewert ничего не сказал, значит что-то тут на самом деле не чисто..

[TatianaK]

Рассказываю. Сегодня после допроса преподавателя с пристрастием , выяснилось, что в задании ОПЕЧАТКА. И вторая функция там такая $ y^2 = 8(6-x)^3 $ - задачка для 11 класса!!!
Спасибо за общение! Вместе рассуждать проще

-- 08.06.2011, 11:44 --

Я теперь озадачена другим. Открою новую тему