Сумма с биномиальными коэффициентами

[nnosipov]

Предлагаю развлечься следующей задачкой.

Пусть $B_n=C_n^1-2007 \cdot C_n^3+2007^2 \cdot C_n^5-\ldots$ (верхний индекс пробегает все нечётные значения, не превосходящие $n$). Докажите неравенство $|B_n| \geqslant 2^{n-1}$.

[maxal]

Из представления

$$B_n = \frac{1}{\sqrt{2007}} \mathrm{Im}\ (1+i\sqrt{2007})^n$$

должна следовать куда более сильная оценка на $|B_n|$.

[nnosipov]

Хотелось бы увидеть, как именно. Можете показать?

[maxal]

Перейти к тригонометрической форме и воспользоваться формулой Муавра.

Получится что-то типа

$$|B_n| \geq \frac{2008^{n/2}}{2007^{1/2}} \cdot \frac{2}{n^{\mu - 1 + \epsilon}}$$

где $\epsilon > 0$ сколь угодно мало, а $\mu$ - это мера иррациональности числа $\frac{1}{\pi}\arcsin \sqrt{\frac{2008}{2007}}$.

[nnosipov]

maxal в сообщении #455335 писал(а):

$\frac{1}{\pi}\arcsin \sqrt{\frac{2008}{2007}}$.

Это число не окажется числом Лиувилля? Напомните, что такое мера иррациональности. Хотя примерно понятно.

[maxal]

http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html

[Руст]

Должно быть что-то типа $\frac{2008^{n/2}}{n^2}$. Но доказать это будет сложно.
Можно просто заметить, что $2^{n-1}|B_n$ и $B_n=1\mod 2007$.

[maxal]

Руст в сообщении #455346 писал(а):

Должно быть что-то типа $\frac{2008^{n/2}}{n^2}$.

Это неверно. Выражение дожно зависеть от меры иррациональности некоторого числа - см. выше.

[nnosipov]

maxal в сообщении #455341 писал(а):

http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html

Что всё-таки известно про меру иррациональности таких арксинусов? В этом, собственно, и был основной вопрос.

[Equinoxe]

Руст, а если n=3? Ведь оно не делится на 4, аналогично и для n=4, для которого B_n вообще нечетное. Поясните, пожалуйста

[nnosipov]

Руст в сообщении #455346 писал(а):

Можно просто заметить, что $2^{n-1}|B_n$ и $B_n=1\mod 2007$.

Только $B_n \equiv n \pmod{2007}$. А так да, на самом деле имелось в виду доказательство именно этой делимости.

[Equinoxe]

nnosipov, а вот делимость не выполняется при некоторых n (см. моё предыдущее сообщение)

[Руст]

Почему же не делится
$(1+i\sqrt{2007})^3=1-3*2007-2004*i\sqrt{2007}=-4(1505+501i\sqrt{2007}).$

[nnosipov]

Equinoxe в сообщении #455359 писал(а):

nnosipov, а вот делимость не выполняется при некоторых n (см. моё предыдущее сообщение)

Я читал Ваше сообщение, думаю, у Вас в вычислениях ошибка.

[Equinoxe]

Руст, да, уже поняла — это я ошиблась из-за того же, из-за чего у Вас было 1 по модулю 2007 :)