Уравнение в простом и натуральном числах

[Xenia1996]

$p\in\mathbb P, n\in\mathbb N$
Решить относительно $p$ и $n$ уравнение
$4\cdot 3^{2^p}+3\cdot 4^{2^p}=13n$

[nnosipov]

Остатки от деления на $13$ левой части периодичны. Не пойму, что здесь сложного. Обобщите уж как-нибудь, у Вас это лихо получается.

[Sonic86]

(решение)

$\Leftrightarrow 3^{2^p-1}+4^{2^p-1} \equiv 0 \pmod{13}$
$3 \equiv 4^2 \pmod{13}$, $t=4^{2^p-1}$
$t^2+t \equiv 0 \pmod {13}$, $13 \not | 4$, значит $4^{2^p-1} \equiv -1 \pmod{13}$, $2$ - образующая, $2^{2(2^p-1)} \equiv 2^6 \pmod{13} \Leftrightarrow 2(2^p-1) \equiv 6 \pmod{12} \Leftrightarrow 2^p \equiv 4 \pmod{6} \Leftrightarrow 2^{p-2} \equiv 1 \pmod{6} \Leftrightarrow p=2$.

[Lunatik]

p=2; n=84

(Оффтоп)

деццкий сат

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #455276 писал(а):

Остатки от деления на $13$ левой части периодичны. Не пойму, что здесь сложного. Обобщите уж как-нибудь, у Вас это лихо получается.

Ну, может быть, вот так?
$4\cdot 3^{m^p}+3\cdot 4^{m^p}=13n\\ (m\in\mathbb N)$

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #455288 писал(а):

Ну, может быть, вот так?
$4\cdot 3^{m^p}+3\cdot 4^{m^p}=13n\\ (m\in\mathbb N)$

Это немного лучше. Но интриги по-прежнему нет.

[Sonic86]

(обобщение, бессмысленное и беспощадное)

Xenia1996 в сообщении #455288 писал(а):

Ну, может быть, вот так?
$4\cdot 3^{m^p}+3\cdot 4^{m^p}=13n\\ (m\in\mathbb N)$

Надо так:
$4\cdot 3^{m^p}+3\cdot 4^{m^p}=13n^2, (m \in \mathbb{N})$

[Equinoxe]

Sonic86, ага, верно подметили :)

-- Вт июн 07, 2011 17:35:08 --

Как решать сониково обобщение понятия не имею, а Ксюшино наоборот слишком простое… :( Надо думать

[Lunatik]

Издеваетесь? Или шутите? Обобщение Sonic86 проще, чем Ксении ;)

[Equinoxe]

Lunatik, ууупс :) да уж, я хорошо затупила

[zhekas]

ну да

левая часть делится на 3, но не делится на 9. Так что ни о каком $n^2$ речи быть не может

[maxal]

Xenia1996 в сообщении #455288 писал(а):

Ну, может быть, вот так?
$4\cdot 3^{m^p}+3\cdot 4^{m^p}=13n\\ (m\in\mathbb N)$

То есть, $\left(\frac{3}{4}\right)^{m^p-1}\equiv -1\pmod{13},$ что равносильно $m^p-1\equiv 3\pmod{6}$ или $m^p\equiv 4\pmod{6}$.
Если $p=2$, то $m\equiv 2, 4\pmod{6}$.
Если $p$ - нечетное простое, то $m\equiv 4\pmod{6}$.