Задача о доказательстве меры нуль бесконечной двоичной дроби

[Spickard]

Задача звучит так:
Какова мера и категория множества тех точек отрезка [0;1], в записи которых в виде бесконечной двоичной дроби на всех четных местах стоят нули ?
То, что множество будет нигде не плотно (по аналогии с Канторовым множеством) это мне понятно.
Но как доказать что его мера равна нулю не могу понять.
Уважаемые математики, помогите пожалуйста.

[ИСН]

Что за фигуру образуют числа, у которых ноль на втором месте?
А - на втором и четвёртом?
А...
Вот этими штуками его накрываем, накрываем, потом оп!

[Spickard]

Спасибо!
Как я понял можно доказать аналогично Канторовому множеству.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Кстати, а соображение вида "Ни один отрезок целиком в это множество не влазит, поэтому его мера — ноль" прокатывает?

[mihailm]

Joker_vD в сообщении #454395 писал(а):

(Оффтоп)

Кстати, а соображение вида "Ни один отрезок целиком в это множество не влазит, поэтому его мера — ноль" прокатывает?

(Оффтоп)

почти если не считать иррациональных чисел)

[nnosipov]

Joker_vD в сообщении #454395 писал(а):

(Оффтоп)

Кстати, а соображение вида "Ни один отрезок целиком в это множество не влазит, поэтому его мера — ноль" прокатывает?

(Оффтоп)

Насколько мне помнится, можно сварганить нигде не плотное множество, мера которого сколь угодно близка к единице.

[Gortaur]

nnosipov

(Оффтоп)

Тогда его замыкание должно обладать такой же мерой

[ewert]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #454395 писал(а):

Кстати, а соображение вида "Ни один отрезок целиком в это множество не влазит, поэтому его мера — ноль" прокатывает?

Канторово множество может иметь какую угодно меру.

Gortaur в сообщении #454587 писал(а):

Тогда его замыкание должно обладать такой же мерой

Канторово множество замкнуто

[Spickard]

Как его можно графически изобразить на прямой? (множество тех точек отрезка [0;1], в записи которых в виде бесконечной двоичной дроби на всех четных местах стоят нули)

[Gortaur]

ewert

(Оффтоп)

Только что наткнулся. Это подлый факт. Очень подлый

[ewert]

Spickard в сообщении #454820 писал(а):

Как его можно графически изобразить на прямой? (множество тех точек отрезка [0;1], в записи которых в виде бесконечной двоичной дроби на всех четных местах стоят нули)

Очень просто. Разделите отрезок на четыре части и выкиньте две запрещённые четвертинки. Потом каждый из двух оставшихся отрезков снова разделите на четыре и снова выкиньте. И т.д.

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #454828 писал(а):

Только что наткнулся. Это подлый факт. Очень подлый

Судя по отсутствию завершающей точки -- речь о замкнутости. Нет, вот это-то -- как раз вполне тривиальный факт. Очень тривиальный (если речь о стандартной конструкции; варианты, конечно, возможны).

[Spickard]

ewert в сообщении #454870 писал(а):

Spickard в сообщении #454820 писал(а):

Как его можно графически изобразить на прямой? (множество тех точек отрезка [0;1], в записи которых в виде бесконечной двоичной дроби на всех четных местах стоят нули)

Очень просто. Разделите отрезок на четыре части и выкиньте две запрещённые четвертинки. Потом каждый из двух оставшихся отрезков снова разделите на четыре и снова выкиньте. И т.д.

Я правильно понял, что это должно выглядеть так?
--------------------||||||||||||||||||||--------------------||||||||||||||||||||
----------------------------|||||-----|||||-----------------------------|||||-----|||||
-------------------------------|-|--------|-|--------------------------------|-|--------|-|
По-моему что-то не то :(

[ewert]

Spickard в сообщении #455150 писал(а):

По-моему что-то не то :(

Почему? Примерно так и есть, с точностью до наоборот.

[Spickard]

ewert в сообщении #455157 писал(а):

Spickard в сообщении #455150 писал(а):

По-моему что-то не то :(

Почему? Примерно так и есть, с точностью до наоборот.

А почему мы четвертями выкидываем? Ведь в каждой из выкинутых частей есть числа где не на всех чётных местах есть нули.

UPD: Пардон, нарисовал всё как следует. Вы правы. Спасибо большое!

[Gortaur]

ewert

(Оффтоп)

Речь шла о толстом. Замкнуто, мера не нуль. Нигде не полно. Самое подлое, что на отрезке.