Граница множества уровня

[Gortaur]

На ограниченной области $A\subset\mathbb{R}^n$ задана липшицева функция $u:A\to [0,1]$ такая, что $A' = \{x\in A:u(x) = 1\}$ непусто. Верно ли, что граница $\partial A'$ имеет меру $0$?

Можете проверить решение? Назовем $D$ - множество всех точек $A$, в которых $u$ не имеет производной. Т.к. функция липшицева, то $\lambda(D) = 0$. С другой стороны, $A'$ замкнуто и для любого его элемента $x$ он либо внутри множества $x\in int(A)$, т.е. $\exists \nabla u = 0$, либо на границе. Т.о. $\partial A'\subset D$ - и следовательно, утверджение верно.

[Gortaur]

Нашел ошибку в доказательстве, так что помощь нужна - верно ли утверждение, и если да - то как доказать?