Теорема Вейерштрасса о приближении триг. полиномами

[Taus]

Испытываю проблемы с доказательством. Исследуем представление функций тригонометрическими полиномами: $T(x) = A + \sum\limits_{k=1}^{n}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$. И соответственно второе определение: чётными тригонометрическими полиномами называются $T(x)$, в которых $\forall k \; b_k = 0$.
Что доказывалось:

• $\cos^m{x}$ - чётный тригонометрический полином
• $T(x)$ - тригонометрический полином $\Rightarrow$ $T(x)\sin{x}$ - тоже тригонометрический полином
• $T(x)$ - тригонометрический полином $\Rightarrow$ $\forall a \in \mathbb{R}\;T(x+a)$ - тоже тригонометрический полином
• Приближение непрерывной функции $f(x) : [0;\pi] \rightarrow \mathbb{R}$ чётным тригонометрическим полином, и следствие для чётных $2\pi$-периодических функций, действующих $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

Соответственно, требуется доказать, что любая непрерывная $2\pi$-периодическая функция приближается тригонометрическим полиномом.

-- Пн июн 06, 2011 19:48:46 --

Ответ найден
$T_1(x) \rightarrow f(x) + f(-x)\; |\cdot\sin^2{x}\\T_2(x) \rightarrow \sin{x}(f(x)-f(-x))\; |\cdot\sin{x}$
Складывая, получаем: $T_3(x) \rightarrow f(x)\sin^2{x}$, аналогично $T_4(x) \rightarrow f(x-\pi/2)\sin^2{x}$. Делая во втором выражении очевидную замену и складывая с первым:
$T_3(x)+T_4(x+\pi/2) \rightarrow f(x)$