сходимость по вероятности послед-ти случайных величин

[spyphy]

Может быть кто разбирается в этих сходимостях...
Пусть есть некоторая последовательность случ. величин $\xi_n$, которая сходится по вероятности к постоянной 1/2.
Что можно сказать о пределе функции распределения $\lim\limits_{n \to \infty} F_{\xi_n}$?

Можно конечно предположить, что поскольку из сходимости по вероятности последовательности случ. величин следует ее слабая сходимость, что означает и слабую сходимость соответствующей последовательности функций распределения к 1/2. Но следует ли из этого обычная сходимость функции распределения к 1/2?.. Получится ли в результате простая ступенька в точке 1/2?

[alisa-lebovski]

Конечно. Слабая сходимость эквивалентна поточечной сходимости функции распределения в токах непрерывности.

[spyphy]

Для непрерывных функций то да... Но будет ли такая функция распределения (случайной величины, равной константе 1/2) непрерывной в точке 1/2?... Вот что меня смущает.

[alisa-lebovski]

Она не будет непрерывной в точке $1/2$. Но все остальные точки - это точки непрерывности. Слева будет сходиться к нулю, а справа к единице. Функции ничего не остается, как быть ступенькой.

[spyphy]

Ага, с этим согласен, справа и слева всё сходится. Только еще один момент для большей ясности. Как я понимаю, насчет точки x=1/2 мы всё не можем утверждать, что
$\lim\limits_{n \to \infty} F_{\xi_n} (1/2) = F_{\xi} (1/2) $, где $\xi=const=1/2$ или можем?

[--mS--]

Нет, не можем. Любые варианты поведения последовательности $F_{\xi_n}(1/2)$ возможны: она может сходиться к нулю, к единице, не сходиться вообще - т.е. иметь подпоследовательность, сходящуюся к нулю, и вторую - к единице.