Арифметическая прогрессия порядка k

[Andrey173]

Помогите доказать, что последовательность чисел $a_n$, где $a_n=e_0 + e_1n + e_2n^2 + ... + e_kn^k$ (все e - константы) образуют арифметическую прогрессию порядка k

[nnosipov]

Andrey173 в сообщении #454394 писал(а):

арифметическую прогрессию порядка k

А откуда Вы взяли этот термин?

[Andrey173]

Из книжки Куранта.
Арифметическая прогрессия порядка k - прогрессия, разность соседних членов которой образует арифметическую прогрессию порядка k-1

[nnosipov]

Andrey173 в сообщении #454407 писал(а):

Арифметическая прогрессия порядка k - прогрессия, разность соседних членов которой образует арифметическую прогрессию порядка k-1

Доказывайте индукцией по $k \geqslant 1$.

[gris]

Можно взять k-тую производную от правой части, считая $n$ действительным числом.

[Andrey173]

Получилось методом полной математической индукции)
gris
Я еще так не умею(

А как доказать обратное утверждение? Что любая арифметическая прогрессия порядка k, имеет такой вид.

[ИСН]

Точно так же, только наоборот. Всякая прогрессия первого порядка имеет вид $a_1+n\cdot d$, это можно считать известным? Ну вот, а тогда прогрессия следующего порядка с необходимостью имеет вид $a_0+a_1\cdot n+d\cdot{n(n+1)\over2}$...

[Andrey173]

Для этой и следующей задачи, нужно показать что сумму k-ых степеней можно представить в виде k+1 степени. Как это можно доказать в общем случае?

[TOTAL]

Andrey173 в сообщении #454623 писал(а):

Для этой и следующей задачи, нужно показать что сумму k-ых степеней можно представить в виде k+1 степени. Как это можно доказать в общем случае?

Сформулируйте точно, что требуется доказать.

[Andrey173]

Ну что перед каждой константой (d например), при повышении порядка арифметической прогрессии на единицу, максимальная степень n тоже повысится на единицу.

[TOTAL]

Andrey173 в сообщении #454663 писал(а):

Ну что перед каждой константой (d например), при повышении порядка прогрессии на единицу, максимальная степень n тоже повысится на единицу.

Какой константой, какой прогресии, какая максимальная степень?

[ewert]

$\sum\limits_{n=1}^{m-1}n^k=a_0+a_1(m-1)+a_2(m-1)^2+\ldots+a_{k+1}(m-1)^{k+1},$

$\sum\limits_{n=1}^{m}n^k=a_0+a_1m+a_2m^2+\ldots+a_{k+1}m^{k+1}.$

Вычитая из второго равенства первое, получим слева $m^k$, а справа некоторый многочлен степени $k$ от переменной $m$. Приравнивая коэффициенты при $1,\,m,\,m^2,\ldots,m^{k-1}$ в правой части нулю и коэффициент при $m^{k}$ единице, получим систему уравнений для коэффициентов $a_1,\,a_2,\ldots,a_{k+1}$. Матрица этой системы -- треугольная, поэтому решение существует и единственно. Коэффициент $a_0$ потом получается из начального условия (при $m=1$ сумма равна единице).