Предел

[arqady]

Найти $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int\limits_{n}^{n+1}\sin{x^2}dx$.
Ответ, очевидно, ноль (ведь нули и колебания $f(x)=\sin{x^2}$ на $[n,n+1]$ бесконечно увеличиваются в числе и, значит сужаются, а суммарная "площадь" всех этих колебаний стремится к нулю), но это, имхо, всё философия (к тому же не очень-то убедительная), а не доказательство.
Чувствуется, что какая-то замена поможет, но я не вижу пока, какая.
Спасибо!

[ИСН]

$x^2\mapsto t$

[Sonic86]

Ну да, $x^2=t$ с последующим сложением положительных и отрицательных полуволн с оценкой сверху потом дает в лоб некрасивое, но простое решение. Написать? Формул много будет...
Интеграл убывает как $O \left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right)$

[ИСН]

Даёт интеграл, который тупо сходится, если брать до бесконечности, а значит, если брать в конечных и стремящихся туда пределах, то...

[ewert]

Sonic86 в сообщении #454244 писал(а):

Написать? Формул много будет...

Ну так уж и много:

$\int\limits_{n^2}^{(n+1)^2}\dfrac{\sin t}{2\,\sqrt t}\,dt=\left.-\dfrac{\cos t}{2\,\sqrt t}\right|_{n^2}^{(n+1)^2}-\int\limits_{n^2}^{n^2+2n+1}\dfrac{\cos t}{4\,t^{3/2}}\,dt\,;$

вот, собственно, и все формулы.

[arqady]

Спасибо, друзья!

[Sonic86]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #454252 писал(а):

Ну так уж и много

Я еще полуволны складывал - у меня больше вышло формул. А зря. Вечно я про интегрирование по частям забываю...