Помогите оценить сумму

[Vedr]

Помогите как-нибудь аккуратно оценить сверху сумму:
$S = \sum\limits_{i=b}^{kb} i^{b-1}h^i$
где k, b - натуральные, $0<h<1, $ 0<hb<1$. Если необходимо, можно положить $0<hb << 1$.
Можно было бы заменить $i^{b-1}$ на $(kb)^{b-1}$, вынести это за знак суммы, а дальше воспользоваться суммой геометрической прогрессии, но хочется оценку поточнее.
Заранее благодарен.

[Sonic86]

У Вас слагаемое суммы - степенная функция на многочлен. Значит, в принципе, можно сумму вычислить точно, аналогично $\int x^ke^{-x}dx$. Подробнее - в Конкретной математике Кнута. Если у Вас $b$ мало, то сразу можете идти читать эту книжку.

[Полосин]

Оценка зависит от соотношения между $h$, $b$ и $k$. Если $h$ очень мало, то, очевидно, первое слагаемое будет главным; если нет, то сумма оценивается (по порядку) интегралом $\int\limits_b^{kb}t^{b-1}h^tdt=(-\ln h)^{-b}\int\limits_{-b\ln h}^{-kb\ln h}s^{b-1}e^{-s}ds$, оценка которого зависит от поведения пределов интегрирования.

[Sonic86]

(опоздал)

А даже проще: оцените сверху соответствующим интегралом, а интеграл уже и считайте.

[Vedr]

Спасибо. Тут попутно такое надумал:
$S = b^{b-1}h^b+(b+1)^{b-1}h^{b+1}+...+(kb)^{b-1}h^{kb}$=\\ =b^{b-1}h^b(1+(1+1/b)^{b-1}h+...+k^{b-1}h^{kb-b})<\\ <b^{b-1}h^b(1+ eh+(eh)^2+...+(eh)^{kb-b})<\\ <b^{b-1}h^b/(1-eh)