Помогите взять интеграл от экспоненциальной функции

[beybarsov]

Как правильно взять этот интеграл? Мне необходимо доказать , что он равен нулю.

$$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\left(e^{4\pi ix}-e^{2\pi ix} \right)}{ 2\pi ix}\mathrm{d} x$$​

Я пыталась расписывать через формулу Муавра и брать по отдельности, на выходе получая сумму интегральных синусов и косинусов с разными знаками, и как выражать их на заданном интервале не представляю.
Еще сводила к гамма-функции, но там по определению берется интервал от нуля до бесконечности.
Еще вопрос, можно ли свести к ядру Дирихле?

[myra_panama]

beybarsov в сообщении #453919 писал(а):

Еще сводила к гамма-функции, но там по определению берется интервал от нуля до бесконечности.

по моему можно привести $(-\infty , \infty);;;;(-\infty,0)\cup (0,\infty)$

[Полосин]

Просто разбейте интеграл на разность двух интегралов (понимаемых в смысле главного значения) и сделайте простую замену в одном из них, чтобы их приравнять.

[myra_panama]

Полосин в сообщении #453936 писал(а):

Просто разбейте интеграл на разность двух интегралов (понимаемых в смысле главного значения) и сделайте простую замену в одном из них, чтобы их приравнять.

$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{4\pi ix}}{2\pi ix}dx-\int_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{2\pi ix}}{2\pi ix}dx$
в первом итеграле как вы сказали сделаем замену 2x=t , отсюда
$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{2\pi ix}}{2\pi ix}-\int_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{2\pi ix}}{2\pi ix}=0$

[beybarsov]

Если я сделаю замену, я получу два интеграла с разными переменными.В том-то и проблема, что значения t и x различны, а значит эти два интеграла не равны между собой.

$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\left ( \exp^{2\pi }^{i}^{t} \right )}{{ 2\pi}{i}{t}}\mathrm{d} t-\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\left ( \exp^{2\pi }^{i}^{x} \right )}{{ 2\pi}{i}{x}}\mathrm{d} x$

[ShMaxG]

beybarsov
Я Вам открою тайну: значение интеграла не зависит от переменной интегрирования.

[beybarsov]

Спасибо. Очень уместное замечание.