Производная несуществующей функции

[wolf.ram]

Читаю тут «Концепции современной математики». Автор описывает случай, как он задал ученикам найти производную от $\log(\log(\sin x))$. Ну они нашли.
Но потом выяснилось, что исходная функция не существует. В отличие от производной.

А можно брать производные от несуществующих функций?

[JMH]

Посмотрите на определение производной и подумайте: как Вы станете находить приращение функции в области, в которой она не существует?

[Dan B-Yallay]

Если нельзя, но очень хочется - то можно. Ну и естественно надо помнить, что производная определяется через предел отношения приращения к ...
Правила дифференцирования всего лишь способ сократить путь (когда он есть).

Исходная функция определена только в определенных точках . Формальная же производная от нее определена тоже не везде а только на интервалах. Поэтому говорить, что функции нет, а производная от нее есть - немного некорректно.

[wolf.ram]

А если мы взяли тупо по правилам, какой тогда «смысл» будет у функции? Ну, явно не тангенс угла наклона.

[mihailm]

wolf.ram в сообщении #453818 писал(а):

Читаю тут «Концепции современной математики». Автор описывает случай, как он задал ученикам найти производную от $\log(\log(\sin x))$. Ну они нашли.
Но потом выяснилось, что исходная функция не существует.

если рассматривать эту функцию как функцию комплексного переменного то все в порядке
и функция существует и производная)

[Dan B-Yallay]

Цитата:

А если мы взяли тупо по правилам, какой тогда «смысл» будет у функции? Ну, явно не тангенс угла наклона.

Как Вы себе это представляете - взять по правилам производную от функции, которая нигде не определена?
С существованием функции якобы в некоторых точках - эт я соврал конечно.

[bot]

А логарифм по какому основанию? Если меньше 1, то никаких якоби - некоторые точки образуют интервалы.

[ИСН]

wolf.ram, у Вас есть (в голове) программа, которая находит производные. Не глючит, не тормозит - красота! Ей даёшь функцию, она выписывает производную. А дай-ка поглядим, что выйдет, если дать ей бессмысленный набор символов?
Да что угодно! Garbage in, garbage out. Так и воспринимайте.

[Portnov]

Теоретически, можно под всё это какую-то теорию подвести. Скажем, будем определять функцию не как отображение одного множества в другое, а как конструкцию из знаков +, -, *, /, sin, cos, tg, log, скобок итп, подчиняющуюся определённым синтаксическим правилам. В случае функций действительного переменного мы, с одной стороны, уменьшим рассматриваемый класс функций, оставив только элементарные функции, а с другой — увеличим, т.к. среди таких конструкций будут функции наподобие той, что в исходном посте. На множестве таких конструкций можно ввести стандартные действия вполне очевидным путём. Получившееся можно рассматривать с т.з. алгебры, это какая-то алгебраическая структура будет (насколько я понимаю, поле, как минимум, если добавить подходящее отношение эквивалентности). Дальше можно ввести операцию дифференцирования по обычным правилам (т.е. не говоря о каких-то пределах, а просто — производная суммы равна сумме производных, итп). Тогда действия вроде взятия производной от «несуществующей» (почти/совсем нигде не определённой) функции будут наделены каким-то смыслом. Только вот вопрос, зачем всё это?... Можно ли получить в такой алгебраической конструкции какие-нибудь полезные результаты?...

[Dan B-Yallay]

Интересна обратная задача. Hа интервале $[0+\varepsilon ,\pi/2-\varepsilon] \subset \mathbb R$ задана действительнозначная функция

$$g(x) =\dfrac 1 {\ln(\sin x)}\dfrac {\cos x}{\sin x}.$$

Формально интегрируя получаем первообразную $\ln(\ln(\sin x))$ которая не определена нигде. Но функция $g$ непрерывна, следовательно интегрируема по Риману и должна иметь какое-то выражение для определенного интеграла с переменным верхним пределом.
Как он будет выражаться?

[ShMaxG]

$\[\left[ {\ln \left( { - \ln \sin x} \right)} \right]' = \frac{1} {{\ln \sin x}}\frac{{\cos x}} {{\sin x}}\]$ при $\[x \in \left( {0;\frac{\pi } {2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi } {2};\pi } \right)\] $.

Т.е. "формальная производная" $ \[\ln \ln \sin x\]$ совпадает с производной $\[{\ln \left( { - \ln \sin x} \right)}\]$ на соотв. множестве. И первообразная $\[\frac{1} {{\ln \sin x}}\frac{{\cos x}} {{\sin x}}\]$ равна $\[{\ln \left( { - \ln \sin x} \right)}\]$ (с точностью до константы).

[Dan B-Yallay]

Хм, до неприличия просто

[Joker_vD]

Dan B-Yallay в сообщении #454031 писал(а):

Хм, до неприличия просто

Ну так ведь $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$.

[caxap]

(Оффтоп)

Portnov в сообщении #453889 писал(а):

Только вот вопрос, зачем всё это?... Можно ли получить в такой алгебраической конструкции какие-нибудь полезные результаты?...

Алгебра многочленов (и формальных степенных рядов) находит же применение. Там тоже всё формальное, включая дифференцирование и интегрирование. Только вот, наверное, дальше этих алгебр незачем идти. Те же "элементарные функции" можно определить как формальные ряды.

А в символьных матпакетах, по-моему, описанный вами чисто синтаксический подход и используется.

[arseniiv]

(Оффтоп)

caxap в сообщении #454049 писал(а):

А в символьных матпакетах, по-моему, описанный вами чисто синтаксический подход и используется.

Да, вот что Mathematica говорит:

In >  D[Log[Log[Sin[x]]], x]
Out>  Cot[x] / Log[Sin[x]]

Ни одного предупреждения не выдавая.