Периодичность последовательности (лёгкая задачка на ночь)

[Xenia1996]

а) Является ли последовательность, образованная последними цифрами (в десятичной записи) чисел вида $n^n$ (при натуральных n=1, 2, 3, ...), периодической? Если да, то каков её период?

б) Тот же вопрос для $n^{n^n}$

в) Тот же вопрос для более высоких "степенных башен" (power tower), сиречь $n^{n^{n^n}}, n^{n^{n^{n^n}}}$ и так далее.

Спокойной ночи!

[ИСН]

Сперва будет 20; откуда оно там вылезает, толком не помню. Кажется, $\text{НОК}\big(10,\varphi(10)\big)$.
Ну и дальше как-нибудь так.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #453826 писал(а):

Сперва будет 20; откуда оно там вылезает, толком не помню. Кажется, $\text{НОК}\left(10,\varphi(10)\right)$.
Ну и дальше как-нибудь так.

(Оффтоп)

Когда я писала заголовок к этой теме, у меня возник вопрос: почему "на ночь" пишется раздельно, а "наутро" - слитно?

[ИСН]

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #453828 писал(а):

почему "на ночь" пишется раздельно, а "наутро" - слитно?

А чёрт его знает. Тоже какая-нибудь сравнимость по небольшому простому модулю, наверное.
Всё, спать.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #453826 писал(а):

Сперва будет 20; откуда оно там вылезает, толком не помню. Кажется, $\text{НОК}\big(10,\varphi(10)\big)$.
Ну и дальше как-нибудь так.

Там во всех пунктах 20 вылазит, но не по этой причине.

[zhekas]

просто у каждого основания период равен 4

Поэтому

$$n^n\mod 10=\left((n\mod 10)^{n\mod4}\right)\mod 10$$

Только помодулю 4 надо вместо 0 брать 4

Соответственно, период равен $HOK(10,4)=20$

Аналогично

$$n^{n^n}\mod10=\left(n\mod10\right)^{\left(n\mod4\right)^{n\mod4}}\mod10$$

Соответственно период равен $HOK(10,4,4)=20$

и так далее

[Xenia1996]

zhekas в сообщении #453848 писал(а):

просто у каждого основания период равен 4

Не у каждого. Например, у основания 1 период равен 1.
Но в целом верно.