Скорость звука в газе

[phys]

Цитата:

Определить скорость звука в газе, если средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа равна $v$, формула для вычисления скорости - $ c = \sqrt { \frac {dP} {d \rho} }$.
Считать что газ в волне сжимается:
а) изотермически
б) адиабатически

Казалось бы что может быть проще, даже зависимость дана. Но вот засада - ничего не выходит.

Для изотермического процесса, для начала, так как $T = const = \frac {mv^2} {3k}$

$P = \frac {\nu RT} {V} \quad dP = \frac {\nu RT} {V^2} dV = \frac {\nu R m v^2} {3kV^2} dV$

$d \rho = \frac {dm} {dV}$

Рассмотрение зависимостей $dP = d(nkT) = kTdn$ и $dP = \frac {1}{3} m_0 v^2 dn$ тоже не предвещает успеха.

Подстановка этих значений в $ c = \sqrt { \frac {dP} {d \rho} }$ абсолютного ничего не дает, + к тому, как туда привязять атомность? Просто руки опускаются.

[Парджеттер]

Что-то Вы мудрите много. $p=\rho R T$,

$$\frac{dp}{d \rho}= RT$$

Надо просто правильно связать $T$ и $\bar v$

[phys]

Как всегда, секрет успеха в простоте.
Отмечу, что строго говоря это две разные задачи, просто я объединил в одну.


Все равно, куда привязывается атомность?

Со скоростью и температурой есть 2 простых соотношения:

$ v^2 = \frac {3kT}{m} = \frac {3RT} {\mu} $

В обоих присутствует либо масса, либо молярная масса, и из атомности газа она никак не следует (ну если только не начинать перебирать все подряд двухатомные газы)



Будет ли формула $dP = RTd \rho$ справедлива для адиабатического процесса? Вероятно что нет.

И вообще что понимается под адиабатическим сжатием во время прохождения звука через газ? То что этот своеобразный бутерброд из слоев с разной плотностью не обменивается теплом между слоями?

[DenisKolesnikov]

phys
если считать процесс адиабатическим, то пользуемся уравнением адиабаты:
$\gamma PdV+VdP=0$, где $\gamma = \frac {C_P}{C_V}$
Если ввести плотность $\rho\sim\frac{1}{V}$, то уравнение примет вид:
$\gamma Pd \rho -\rho dP=0$
Ну и отсюда $\frac {dP}{d\rho}$ легко выражается

-- Пт июн 03, 2011 21:27:02 --

Цитата:

И вообще что понимается под адиабатическим сжатием во время прохождения звука через газ? То что этот своеобразный бутерброд из слоев с разной плотностью не обменивается теплом между слоями?

Колебания плотности, а равно и температуры, при прохождении звука через среду настолько быстры, а теплопроводность, как правило, настолько мала, что теплообмен не играет роли и температуры между сгущением и разрежением газа не успевает выравниваться. А т.к. нет теплообмена, то и процесс адиабатический

[phys]

DenisKolesnikov, Парджеттер, огромное спасибо, ситуация постепенно проясняется.

Denis, получаем тоже что и постом выше - $c = \sqrt {RT}$ и $c = \sqrt {\gamma RT}$.

Висит все та же проблема со связью температуры, скорости, атомности и массы (или молярной массы).
Извините, если прошу слишком много, но задача действительно уже давно не может сдвинуться с мертвой точки.

[DenisKolesnikov]

phys
В коэффициент $\gamma$ уже точно зашита молярная масса. Остальные параметры можно связать через основные соотношения МКТ

[phys]

Парджеттер, ё мое, $p = \frac {\rho R T} {\mu}$



Все решилось:

$T = const \qquad c = v \sqrt { \frac {1} {3} }$

$Q = 0 \qquad c = v \sqrt { \frac {\gamma} {3} }$

[Парджеттер]

phys в сообщении #454127 писал(а):

Парджеттер, ё мое, $p = \frac {\rho R T} {\mu}$

Смотря, что подразумевать под $R$. Я подразумеваю газовую постоянную конкретного газа, как это принято в той отрасли науки, которой я занимался, то есть $R=R_u/ \mu$, где $R_u$ - универсальная газовая постоянная. Не знал, что это требует отдельных пояснений.

-- 05 июн 2011, 00:44 --

phys в сообщении #454127 писал(а):

Все решилось

А как Вы учли двухатомность?

[phys]

В постоянной адиабаты $\gamma$. Вроде в изотерме воткнуть её некуда

[Парджеттер]

phys в сообщении #454147 писал(а):

В постоянной адиабаты $\gamma$. Вроде в изотерме воткнуть её некуда

Верно. Исторически это, кстати, отражает попытку подсчета скорости звука в газах Ньютоном и Лапласом. Ньютон считал, что волна распространяется изотермически, и получил неправильную формулу.