Ряд Лорана

[Sonic86]

Aden писал(а):

Так как быть дальше? Что-то я в тупик зашел.

1. Как выглядит разложение в ряд Лорана функции $u(z) = \frac{1}{z}$ (подсказка: вопрос очень простой)?
2. Пусть $u(z), v(z)$ - функции, $f(z), g(z)$ - их ряды Лорана. Как выглядит ряд Лорана функции $u(z) \cdot v(z)$?

[Aden]

Ряд Лорана функции $\[u(z) \cdot v(z) = f(z) \cdot g(z)\]$

[Sonic86]

Отвечайте полностью (необязательно здесь, достаточно себе), а потом применяйте это к своей задаче.

[Aden]

Получается, что в ряд Лорана данная функция не разлогается.

[ИСН]

Что такое вообще ряд Лорана? Как он выглядит?

[Aden]

$\[ \begin{gathered} f(z) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {c_n (z - z_0 )^n = \sum\limits_{n = 0}^\infty {c_n (z - z_0 )^n } + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{c_{ - n} }} {{(z - z_0 )^n }}} } \h\varphill \\ c_n = \frac{1} {{2\pi i}}\int\limits_\gamma {\frac{{f(t)dt}} {{(t - z_0 )^{n + 1} }}} ;\quad \quad n = 0, \pm 1, \pm 2,... \h\varphill \\ \end{gathered} \]$
Ряд такого вида называется рядом Лорана. Это все, что обьяснил преподаватель.
Да и пример разобранного задания совсем не схож.

[ИСН]

Что такое $z_0$ и чему оно равно в Вашем случае?

[Aden]

В моем случае $ $z_0 = 0$$. Как я понимаю, это изолированная особая точка.

[Sonic86]

Цитата:

В моем случае $z_0 = 0$. Как я понимаю, это изолированная особая точка.

Это любая точка, лишь бы $f(z)$ была голоморфна в некотором кольце $r<|z-z_0|<R$.

Напишите ряд Лорана для $f(z)=z^3$ при $z_0=0$.

[ИСН]

Для начала подставьте $z_0=0$ во все формулы. Авось станет приятнее смотреть.

[Ylyasha]

$$f(z) = z^3 $$

не разлаживается в ряд Лорана.

[ИСН]

ИСН в сообщении #453216 писал(а):

Что такое вообще ряд Лорана? Как он выглядит?

ИСН в сообщении #453238 писал(а):

подставьте $z_0=0$ во все формулы. Авось станет приятнее смотреть.

[мат-ламер]

Ylyasha в сообщении #453305 писал(а):

$$f(z) = z^3 $$

не разлаживается в ряд Лорана.

Очень даже разлаживается. Но в данном случае проще почитать какого-нибудь Шабата и потом вернуться к примеру.