Множества (отношения)

[Sverest]

На множествах $A=\{a,b,c\}$, $B=\{1,2,3,4\}$ заданы отношения $P_1 \subseteq A \times B$, $P_2 \subseteq B \times B$. Изобразите $P_1$, и $P_2$ графически. Найдите $[P_1 \circ P_2]^{-1}$ Постройте матрицу отношения $P_2$ и по матрице проверьте, является ли отношение $P_2$ рефлексивным, антирефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, не транзитивным. если $P_1=\{(a,1),(a,2),(b,3),(c,2),(c,3),(c,4)\}$, $P_2=\{(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,4)\}$

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix} $$

по матрице видно, что отношение рефлексивно, антисимметрично, нетранзитивно

Как решить все остальное?

[Sverest]

$[P_1 \circ P_2]$ это значит $\{(2,1),(2,2),(3,3),(2,2),(2,3),(2,4) \}$?

[Joker_vD]

Мне интересно, у вас есть учебник, или вы наощупь это все решаете?

Ерусалимский Я.М. в "Дискретная математика" писал(а):

Определение 4.4 Пусть $\alpha$ — бинарное отношение на $X\times Y$, $\beta$ — бинарное отношение на $Y\times Z$. Определим композицию бинарных отношений $\alpha \circ \beta$ как бинарное отношение на $X \times Z$, заданное следующим:

$$x (\alpha\circ\beta) y \Longleftrightarrow \exists y((x\alpha y)(y\beta z)) \equiv 1.$$

[Sverest]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #452966 писал(а):

Мне интересно, у вас есть учебник, или вы наощупь это все решаете?

Ерусалимский Я.М. в "Дискретная математика" писал(а):

Определение 4.4 Пусть $\alpha$ — бинарное отношение на $X\times Y$, $\beta$ — бинарное отношение на $Y\times Z$. Определим композицию бинарных отношений $\alpha \circ \beta$ как бинарное отношение на $X \times Z$, заданное следующим:

$$x (\alpha\circ\beta) y \Longleftrightarrow \exists y((x\alpha y)(y\beta z)) \equiv 1.$$

учебник есть, просто я не очень понимаю, что там написано

-- Чт июн 02, 2011 13:33:58 --

Я просто примеры там смотрю

$R_1 \{b=a+2\}$
$R_2 \{b=a^2\}$
$R_1 \circ R_2 \{(a+2)^2=b\}$

-- Чт июн 02, 2011 13:34:43 --

а такого примера как здесь, я не нашел

[Joker_vD]

Ну что ж. Вот у нас есть $P_1 \subseteq A\times B, \; P_2 \subseteq B\times B$. Из определения мы заключаем, что $P_1 \circ P_2 \subseteq A\times B$. Теперь давайте определять, из чего оно состоит.

$(a,1) \in P_1 \circ P_2 \Longleftrightarrow \exists y \in B\colon (a,y) \in P_1, \; (y,1) \in P_2$. Есть такой $y$? Есть, это $1\colon (a,1) \in P_1, \; (1,1) \in P_2$. Значит, $(a,1) \in P_1\circ P_2$. И так далее... В принципе, можно построить матрицы $P_1$ и $P_2$, найти их булево произведение и выписать по нему $P_1\circ P_2$.

[Sverest]

Значит в $[P_1 \circ P_2]$ входят только $\{(a,1),(a,2),(b,3),(c,2),(c,3),(c,4)\}$
так как в $P_1$ нет элементов декартового произведения, на первом месте которого бы стояли числа

[Joker_vD]

Ответ неверен. И я сомневаюсь, что вы решали верным путем.

Ладно, давайте совсем на пальцах: берете одну пару из $P_1$. Например, $(a,2)$. Теперь берете из $P_2$ все пары, у которых начинаются элемента, которым выбранная пара заканчивалась. В данном случае это $(2,1),\,(2,2),\,(2,3),\,(2,4)$. Еще раз поясняю, почему: $(a,2)$ заканчивается на $2$, поэтому из $P_2$ надо выбирать те пары, которые на $2$ начинаются. Выбрали, теперь "склеиваем" выбранные пары из $P_1$ и $P_2$:
$(a,2)\circ(2,1)=(a,1)$,
$(a,2)\circ(2,2)=(a,2)$,
$(a,2)\circ(2,3)=(a,3)$,
$(a,2)\circ(2,4)=(a,4)$.
То есть выбрасываете средние элементы (они совпадают), оставляя крайние. Все, полученные $(a,1),\,(a,2),\,(a,3),\,(a,4)$ входят в $P_1 \circ P_2$.

Теперь самостоятельно: возьмите $(c,2) \in P_1$, и проделайте то же самое. Потом с $(c,4)$. Напишите это здесь.

P.S. Ну, из общематематического могу еще посоветовать тренироваться излагать мысли точно и ясно. Для начала — точно. Потом стоит потренироваться расписывать "так как".

[Sverest]

$(c,2)\circ(2,1)=(c,1)$,
$(c,2)\circ(2,2)=(c,2)$,
$(c,2)\circ(2,3)=(c,3)$,
$(c,2)\circ(2,4)=(c,4)$.

$(c,4)\circ(4,4)=(c,4)$.

А для $[P_1 \circ P_2]^{-1}$ надо их просто местами поменять?

[Joker_vD]

Sverest в сообщении #453189 писал(а):

А для $[P_1\circ P_2]^{-1}$ надо их просто местами поменять?

Их — это элементы внутри пары? Да. Если $R \subseteq A\times B$, то отношение $R^{-1} = \{(y,x) \mid (x,y) \in R \}$.