Уравнение с бесконечным числом вложенных квадратных корней

[vlad_light]

Задание:
Пускай $n\in\mathbb N, x\in\mathbb N$. Доказать или опровергнуть, что уравнение:
$x=\sqrt {n+\sqrt {n+\sqrt {n+...}}}$
имеет бесконечное количество решений.

Мои попытки:
$x^2=(\sqrt {n+\sqrt {n+\sqrt {n+...}}})^2$
$x^2-n=\sqrt {n+\sqrt {n+\sqrt {n+...}}}=x$
$x^2-x-n=0$
$x=\frac{1+\sqrt{1+4n}}{2}$
Пускай $m\in\mathbb N, m=\sqrt{1+4n}$
$m^2=1+4n\Rightarrow n=\frac{m^2-1}{4}=\frac{(m-1)(m+1)}{4}$
Правда ли такое: $((m-1)(m+1)|4)\Leftrightarrow (m-1|4)\vee (m+1|4)$

(Оффтоп)

Влево очевидно, вправо - нет.

Далее, допустим, что предыдущее утверждение верно, тогда:
$(m-1|4)\Leftrightarrow m\in \{4k+1|k\in\mathbb N\}$
$(m+1|4)\Leftrightarrow m\in \{4k-1|k\in\mathbb N\}$
$\Rightarrow ((m-1)(m+1)|4)\Leftrightarrow m\in \{4k+1|k\in\mathbb N\}\cup \{4k-1|k\in\mathbb N\}$
$\Leftrightarrow m\in \{2k-1|k\in\mathbb N \}$
Т.е. мы доказали, что $m$ бесконечно много, причём все они нечётные.
Соответственно, все $x=\frac{1+\sqrt{1+4n}}{2}$ - целые.
Теперь нужно доказать, что $n$ - бесконечно много. Для этого нужно доказать, что отображение $f$ такое, что $f(m)=\frac{m^2-1}{4}$ является биекцией.
Как это доказать?
Спасибо за советы!

[gris]

Правая часть монотонно возрастает по $n$.
Квадрат нечётного числа всегда имеет остаток 1 при делении на 4.
$(2k+1)^2=4k^2+2\cdot 2k+1=4(k^2+k)+1$
Даже при делении на 8
То есть можно выписать явно все целые решения.

[vlad_light]

Цитата:

Правая часть монотонно возрастает по $n$.

Это к какой строке?
То, что $m$ - бесконечно много - понятно. Как доказать, что $n$ бесконечно много? Или это не нужно доказывать?
Всё, я понял. Даже если отображение не будет взаимнооднозначным, нам всё-равно этот вариант подходит. Спасибо!

[Sonic86]

vlad_light в сообщении #453137 писал(а):

Правда ли такое: $((m-1)(m+1)|4)\Leftrightarrow (m-1|4)\vee (m+1|4)$

(Оффтоп)

Влево очевидно, вправо - нет.

Правильно обозначать так: "$p$ делит $a$ $\Leftrightarrow p|a$, $a$ кратно $p$ $ \Leftrightarrow a \vdots p$"
В общем случае это лемма $p|ab \Leftrightarrow p|a \vee p|b$ - она верна лишь для простых $p$. В случае составного делителя можно разбить его на 2 множителя, каждая из которых делит свой множитель делимого.

-- Чт июн 02, 2011 22:28:37 --

vlad_light писал(а):

Теперь нужно доказать, что $n$ - бесконечно много. Для этого нужно доказать, что отображение $f$ такое, что $f(m)=\frac{m^2-1}{4}$ является биекцией.

Нет, нужно доказать, что область определения этой функции бесконечна (утверждение очевидно берете $n$ считаете $m$...)