Размерность и коразмерность

[mihas]

Помогите понять.
Имеется пространство размерности N. Имеется подпространство размерности K. Получаем фактор-пространство размерности N-K. А теперь покажите на примере пространства чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 какова размерность пространства, размерность подпространства четных чисел, размерность фактор-пространства?

[Leox]

натуральные числа не образуют векторного пространства

[mihas]

Почему? Обоснуйте?

[Leox]

найдите определение векторного пространства и сами проверьте

[mihas]

Хорошо. Пусть имеется десять действительных чисел x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, пять из которых делятся на 2. Ведь Вы же не будете отрицать, что действительные числа образуют пространство? Как быть в этом случае?

[neo66]

Leox в сообщении #452857 писал(а):

натуральные числа не образуют векторного пространства

А над конечным полем?

[Leox]

mihas в сообщении #452862 писал(а):

Хорошо. Пусть имеется десять действительных чисел x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, пять из которых делятся на 2. Ведь Вы же не будете отрицать, что действительные числа образуют пространство? Как быть в этом случае?

Действительные числа образуют векторное пространство но никакие 10 действительных чисел его не образуют :)
найдите определение векторного пространства над полем и сами поймете свою ошибку

-- Чт июн 02, 2011 08:26:16 --

neo66 в сообщении #452863 писал(а):

Leox в сообщении #452857 писал(а):

натуральные числа не образуют векторного пространства

А над конечным полем?

Как вы определите произведение елемента конечного поля на натуральное число?

[neo66]

Leox в сообщении #452870 писал(а):

Как вы определите произведение елемента конечного поля на натуральное число?

Ну, пусть, например, поле из $p$ елементов: назовем их $0,1,2 \dots , p-1$. Умножение определяется ясно как. Ну, и, вроде как, все аксиомы векторного пространства выполняются.

Нет, пардон, не все. Вернее, все, но, возникает парадокс в науке, а кому это может понравиться?

[Joker_vD]

Leox в сообщении #452870 писал(а):

Как вы определите произведение елемента конечного поля на натуральное число?

$$na \stackrel{def}{=} \sum_{i=1}^n a, \quad n \in \mathbb N,\; a \in GF(p^e).$$

[neo66]

Joker_vD в сообщении #452924 писал(а):

Leox в сообщении #452870 писал(а):

Как вы определите произведение елемента конечного поля на натуральное число?

$$na \stackrel{def}{=} \sum_{i=1}^n a, \quad n \in \mathbb N,\; a \in GF(p^e).$$

Нет, так не пойдет, результат должен быть натуральным числом. Но, можно любое поле рассматривать как векторное пространство над любым его подполем. Это используется в теории расширений полей, теории Галуа и т.д.

[Leox]

Не получится - нарушается дистрибутивность. В определении векторного пространства операции сложения (и в поле и группе векторов) обозначена одним значком "+" хотя ето разные операции. Обозначим операцию сложения в $\math{Z}_p$ через $\oplus$. Тогда условие дистрибутивности запишется так $(n_1 \oplus n_2) a=n_1 a+n_2 a$ для всех $n_i \in \mathbb{Z}_p$ и векторов $a.$ Теперь, если вы возьмете $n_1=p-1, n_2=1$ то слева плучится ноль а справа не ноль.
Так что нет никаких парадоксов.

[ewert]

neo66 в сообщении #452863 писал(а):

Leox в сообщении #452857 писал(а):

натуральные числа не образуют векторного пространства

А над конечным полем?

Какая разница над каким, когда для натуральных чисел самих по себе даже аксиомы сложения не все выполняются.

[neo66]

Не придирайтесь. В этом высоконаучном споре отрицательные числа считаются натуральными.