Функциональное уравнение №2

[RIP]

Найти все ограниченные функции $f\colon[-1;1]\to\mathbb{R}$, непрерывные в нуле и удовлетворяющие тождеству

$$2f(x)=f\left(\frac x2\right)+f\left(\frac{1-x}2\right)$$

Задачка оказалась слишком простой, поэтому на закуску еще:
Найти все функции $f\colon[-1;1]\to\mathbb{R}$, удовлетворяющие тождеству

$$2f(x)=f\left(\frac x2\right)+f\left(\frac{1-x}2\right)$$

[Юстас]

При условиях ограниченности и непрерывности действительно несложно: пусть $M=\sup f(x)$, $x_0:\ f(x_0)=M-\varepsilon$, тогда из $2f(x_0)=f(\frac{x_0}{2})+f(\frac{1-x_0}{2})$ имеем $f(\frac{x_0}{2})\geq M-2\varepsilon$, или $f(\frac{x_0}{2^n}\geq M-n\varepsilon$. Из непрерывности в нуле и произвольности $\varepsilon$ имеем $f(0)=M$, аналогично для $m=\inf f(x)$ получаем $f(0)=m$, откуда $f(x)=const$. При отказе от условий на $f$ так просто не выходит.
P.S. От ограниченности отказаться просто, она следует из непрерывности в 0, а вот что с непрерывностью делать пока неясно.

[RIP]

Решение правильное, но с маленькой поправочкой. Не $n\varepsilon$, а $2^n\varepsilon$. И $f(x_0)>M-\varepsilon$.

[RIP]

Только сейчас заметил. Как из непрерывности в нуле следует ограниченность

[Юстас]

Да видимо не следует: я считал так, что если $f(x_0)>M$, то либо $f(\frac{x_0}{2})>M$, либо $f(\frac{1-x_0}{2})>M$, далее по аналогии строим последовательность точек со свойством $f(x_n)>M$, только вот предельной точкой 0 быть к сожалению не обязазан, как мне показалось сначала.

[RIP]

Во-во, тоже так считал, поэтому в первоначальной формулировке условия ограниченности не было. А потом построил непрерывное в 0 неограниченное решение и призадумался...

[Юстас]

Насколько я понимаю, класс функций, описываемых данным уравнением, довольно обширен. Например, $f(x)=c_1, \ x\in Q, \ f(x)=c_2, x\in R-Q$, удовлетворяет уравнению. То есть, если отрезок [-1,1] разбивается на ряд подмножеств, замунутых относительно операций $x\rightarrow \frac x 2,\ x\rightarrow \frac{1-x}{2}$, то функция, равная константе на каждом из них, удолетворяет условию. Например, $A_i=\left{ a+b\sqrt{p_i}, \ a,b\in Q \left}$, $p_i$ - простое число. Других функций по-видимому нет.

[RIP]

Юстас писал(а):

Других функций по-видимому нет.

Есть.

[Юстас]

И все эти функции описываются каким-то простым условием? То есть, более простым чем исходное уравнение?

[RIP]

Юстас писал(а):

И все эти функции описываются каким-то простым условием? То есть, более простым чем исходное уравнение?

Не знаю, насколько просто это условие. Хорошо, докажите, что существует непрерывное в окрестности 0 и неограниченное решение.