Integral

[man111]

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b\frac{\sin^nx}{\sin^nx+\cos^nx}\,dx$

Where $0 \leqslant a < b \leqslant \frac{\pi}{2}$

[myra_panama]

$\int\limits_a^b\frac{\sin^nx}{\sin^nx+\cos^nx}\,dx=\int\limits_a^b\frac{dx}{1+ctg^{n}x}$
отсюда , сделаем замену $ctgx=t$ , то получим
$-\int\limits_{ctga}^{ctgb}\frac{dt}{(1+t^2)(1+t^n)}$ , и сделаем еще замену $t=\frac1{u}$
дальше еще нужно подумать.... если я не ошибся

[ewert]

$f_n(x)\to0$ при $x<\frac{\pi}{4}$ и $f_n(x)\to1$ при $x>\frac{\pi}{4}$.

[myra_panama]

ewert в сообщении #452145 писал(а):

$f_n(x)\to0$ при $x<\frac{\pi}{4}$ и $f_n(x)\to1$ при $x>\frac{\pi}{4}$.

здесь можно ли так:
$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{a}^{b}\frac{dx}{1+ctg^{n}x}=\int\limits_{a}^{b}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{dx}{1+ctg^{n}x}$?

[ewert]

Можно.

[man111]

explanation please.

thanks

[myra_panama]

ewert в сообщении #452145 писал(а):

$f_n(x)\to0$ при $x<\frac{\pi}{4}$ и $f_n(x)\to1$ при $x>\frac{\pi}{4}$.

и еще можно добавит , что
$f_n(x)\to\frac12$ при $x=\frac{\pi}{4}$

man111 в сообщении #452174 писал(а):

explanation please.
thanks

man111 there $f_{n}(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac1{1+ctg^n{x}}$

[ewert]

myra_panama в сообщении #452203 писал(а):

и еще можно добавит , что
$f_n(x)\to\frac12$ при $x=\frac{\pi}{4}$

Можно. Но не нужно. Интегралу это неинтересно.

[myra_panama]

ewert в сообщении #452214 писал(а):

Можно. Но не нужно. Интегралу это неинтересно.

По моему , для построение графика нужно,ибо есть разница между $b-a$ и $\frac{b-a}2$

[ewert]

myra_panama в сообщении #452253 писал(а):

$b-a$ и $\frac{b-a}2$

Это-то откуда? и при чём тут график?

[BapuK]

myra_panama в сообщении #452253 писал(а):

ewert в сообщении #452214 писал(а):

Можно. Но не нужно. Интегралу это неинтересно.

По моему , для построение графика нужно,ибо есть разница между $b-a$ и $\frac{b-a}2$

В смысле Римана, там несобственный интеграл и в данном случае без разницы, что посередине происходит, про г. Лебега я вообще молчу...

[ewert]

BapuK в сообщении #452275 писал(а):

В смысле Римана, там несобственный интеграл

Там вполне собственный, в любом смысле. Просто интеграл в любом смысле не чувствует одной точки.