Построить конформное отображение

[rumble]

Здравствуйте, прошу помощи в следующей задаче.
Нужно найти конформное отображение, переводящее верхнюю полуплоскость на нижнюю с условиями
$w(i) = e^\frac{{3i\pi}}{{4}}$
$arg (w'(i))=0$

Я решал так: если $w$ - искомое отображение, значит $w_1 = e^{i\pi}*w = -w$, получаем верхнюю полуплоскость
Вид отображения верхней полуплоскости на себя:
$\frac{w_1 - e^{(3i\pi)/4}}{w_1 - \overline{e^{(3i\pi)/4}}}$ = $e^{i\theta}{\frac{z - i}{z - \overline{i}}}$

Значит,
$\frac{w + e^{(3i\pi)/4}}{w + \overline{e^{(3i\pi)/4}}}$ = $e^{i\theta}{\frac{z - i}{z - \overline{i}}}$

Если продифференцировать обе части, то получим
$\frac{w'(z)*(\overline{e^{(3i\pi)/4)}} - e^{(3i\pi)/4)})}{(w + \overline{e^{(3i\pi)/4}})^2}$ = $e^{i\theta}{\frac{i - \overline{i}}{(z - \overline{i})^2}}$

при $z=i$ получим:
$w'(i) = e^{i\theta}{\frac{(\overline{e^{(3i\pi/4)}} + e^{(3i\pi/4)})^2}{(i - \overline{i})(\overline{e^{(3i\pi)/4}} - e^{(3i\pi)/4)})}}$

теперь, учитывая, что $arg(w'(i)) = 0$ и кроме того $arg(\frac{z_1}{z_2}) = arg(z_1) - arg(z_2)$ и $arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)$
кроме того, насколько я понимаю, аргумент разницы комплексного числа и его сопряженного равен либо $\frac{\pi}{2}$, а аргумент суммы $\pi$, я получаю что $arg(w'(i)) = \theta$
Значит, $\theta = 0$. Но, мне кажется, какие-то из рассуждений неверны.

[Полосин]

Не очень понятно, зачем сначала отображать верхнюю полуплоскость на себя, а затем отражать ее, вместо того чтобы сразу строить требуемое отображение.
Проверьте найденное решение - ведь искомое отображение единственно.