Неравенство в треугольнике

[arqady]

Пусть $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника. Докажите, что:

$$\frac{a}{3a-b+c}+\frac{b}{3b-c+a}+\frac{c}{3c-a+b}\geq1$$

[Edward_Tur]

Стандартная замена $a=y+z, b=x+z, c=x+y$ приводит к неравенству типа Несбита:

$$\frac{x}{x+2z}+\frac{y}{y+2x}+\frac{z}{z+2y}\geq1,$$

которое эквивалентно очевидному

$$xy^2+yz^2+zx^2\geq3xyz.$$

Исходное неравенство как-то связано с точкой Жергона треугольника.

[arqady]

Edward_Tur в сообщении #452126 писал(а):

Стандартная замена $a=y+z, b=x+z, c=x+y$ приводит к неравенству типа Несбита:

$$\frac{x}{x+2z}+\frac{y}{y+2x}+\frac{z}{z+2y}\geq1,$$

которое эквивалентно очевидному

$$xy^2+yz^2+zx^2\geq3xyz.$$

Или так:
$\sum\limits_{cyc}\frac{x}{x+2z}=\sum\limits_{cyc}\frac{x^2}{x^2+2xz}\geq\frac{(x+y+z)^2}{\sum\limits_{cyc}(x^2+2xz)}=1$.