вопрос по функану: собственные вектора операторов

[oposum]

Пусть $H$ -- гильбертово пространство, оператор $A:\,H\to H.$
Известно, что у оператора $A^2$ существует собственный вектор. Как показать, что у оператора $A$ существует собственный вектор?
Предлагаю, что вопрос довольно легкий, но что-то я туплю.
Пробовал делать следующим образом:

$$(A^2-\lambda E)x=0\Rightarrow (A-\sqrt\lambda E)(A+\sqrt\lambda E)x=0$$

Не знаю, как показать
$(A+\sqrt\lambda E)x\ne0$

[Oleg Zubelevich]

oposum в сообщении #451737 писал(а):

Пусть $H$ -- гильбертово пространство, оператор $A:\,H\to H.$
Известно, что у оператора $A^2$ существует собственный вектор. Как показать, что у оператора $A$ существует собственный вектор?

это неверно

[oposum]

поправка: комплексное гильбертово пространство

[Oleg Zubelevich]

тоже самое

[oposum]

почему?

[sup]

oposum в сообщении #451737 писал(а):

Не знаю, как показать
$(A+\sqrt\lambda E)x\ne0$

А зачем?? Если это не равно 0, то для некоторого $y$
$(A-\sqrt\lambda E)y = 0$
и "все будет хорошо".
А чем отличаются эти две строчки?

[Oleg Zubelevich]

что-то я чепуху сказал

[oposum]

sup в сообщении #451864 писал(а):

oposum в сообщении #451737 писал(а):

Не знаю, как показать
$(A+\sqrt\lambda E)x\ne0$

А зачем?? Если это не равно 0, то для некоторого $y$
$(A-\sqrt\lambda E)y = 0$
и "все будет хорошо".
А чем отличаются эти две строчки?

Собственный вектор же должен быть неотрицательным

[sup]

Вектор? Собственный? И неотрицательный? Да еще и в комплексном гильбертовом пространстве?
А что ж это он у Вас так провинился?

[oposum]

sup в сообщении #451940 писал(а):

Вектор? Собственный? И неотрицательный? Да еще и в комплексном гильбертовом пространстве?
А что ж это он у Вас так провинился?

Ой, очепятка -- ненулевым должен быть

[ewert]

$$(A-\sqrt\lambda E)(A+\sqrt\lambda E)x=0,\ x\neq0\ \ \Leftrightarrow\ \ y=(A+\sqrt\lambda E)x,\ (A-\sqrt\lambda E)y=0,\ x\neq0.$$

Если $y\neq0$, то и прекрасно; а если $y=0$, то тоже замечательно.

(да, кстати: а при чём тут гильбертовость?...)

[oposum]

ewert в сообщении #451957 писал(а):

(да, кстати: а при чём тут гильбертовость?...)

сам не понял

зы спасибо!