интегралы

[vlad_light]

$\int\limits_0^{2\pi}\frac{d\phi}{1-2a\cos\phi +a^2},a\neq\pm 1 $
Мои попытки:
$z:=e^{i\phi}, dz=ie^{i\phi}d\phi=izd\phi, d\phi=\frac{dz}{iz}$
$\cos\phi =\frac{1}{2}(e^{i\phi}+e^{-i\phi})=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})$
$\int\limits_0^{2\pi}\frac{d\phi}{1-2a\cos\phi +a^2}=\int\limits_{|z|=1}\frac{dz}{iz}\frac{1}{1-2a\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})+a^2}=\frac{1}{i}\int\limits_{|z|=1}\frac{dz}{-az^2+(1+a^2)z-a}=$
$=i\int\limits_{|z|=1}\frac{dz}{az^2-(1+a^2)z+a}, f(z):=\frac{1}{az^2-(1+a^2)z+a}$
$D=(1+a^2)^2-4aa=(a^2-1)^2, z_{1,2}=\frac{1+a^2\pm |1-a^2|}{2a}$
$z_{1,2}=\frac{1+a^2\pm (a^2-1)}{2a}, z_1=\frac{1}{a}, z_2=a$
Соответственно, один из коней попадает в $\{z;|z|<1\}$, а второй - нет.
$\int\limits_{|z|=1}\frac{dz}{-az^2+(1+a^2)z-a}=2\pi i\mathrm{res}_{z=a}f(z)=2\pi i\lim\limits_{z\to a}\frac{z-a}{a(z-a)(z-\frac{1}{a})}=2\pi i\frac{1}{a^2-1}$
$\int\limits_0^{2\pi}\frac{d\phi}{1-2a\cos\phi +a^2}=\frac{2\pi}{1-a^2}$
Проверьте, пожалуйста! Спасибо!

(Оффтоп)

Как здесь написать $\mathrm{res}_{z=a}$ правильно? Чтоб $z=a$ было под $\mathrm{res}$

[Полосин]

Ответ верный (решение, похоже, тоже) для случая $|a|<1$. Не забудьте рассмотреть случаи $|a|>1$ и $|a|=1$.

[Алексей К.]

(Как здесь написать...?)

vlad_light в сообщении #451592 писал(а):

Как здесь написать $\mathrm{res}_{z=a}$ правильно? Чтоб $z=a$ было под $\mathrm{res}$

Очень сложно это пишется: $\mathop{\mathrm{res}}\limits_{x=a}$

[vlad_light]

Спасибо!
Для $|a|>1$ : $2\pi i \lim\limits_{z\to \frac{1}{a}}\frac{z-\frac{1}{a}}{a(z-a)(z-\frac{1}{a})}=\frac{2\pi i}{1-a^2}$
Т.е. в ответе изменится только знак.
$a\neq 1$ по условию.
Следующий:
$\int_0^{2\pi} \frac{d\phi}{(a+b\cos^2\phi)^2}$
$\cos^2\phi=\frac{1}{4}(z+\frac{1}{z})^2$
$\frac{1}{i}\int\limits_{|z|=1} \frac{z^4dz}{z\cdot z^4(a+\frac{b}{4}(z+\frac{1}{z})^2)^2}=\frac{1}{i}\int\limits_{|z|=1} \frac{z^3dz}{(az^2+\frac{b}{4}(z^2+1)^2)^2}$
Как дальше делать? Корни знаменателя я тут не найду...

[ewert]

vlad_light в сообщении #451784 писал(а):

Для $|a|>1$ : $2\pi i \lim\limits_{z\to \frac{1}{a}}\frac{z-\frac{1}{a}}{a(z-a)(z-\frac{1}{a})}=\frac{2\pi i}{1-a^2}$

Такого просто не бывает. Ведь значения интеграла -- ну откровенно аналитичны по $a$ (не важно с какими оговорками).

[cepesh]

Алексей К.

(Re: Как здесь написать...?)

Правильно было бы написать
$\operatorname*{Res}\limits_{x=a}$ или $$\operatorname*{Res}_{x=a}$$

[vlad_light]

$\int_0^{2\pi} ctg(x+a)dx=\int_0^{2\pi}i\frac{e^{i(x+a)}+e^{-i(x+a)}}{e^{i(x+a)}-e^{-i(x+a)}}dx=\int_a^{2\pi +a}i\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{e^{iy}-e^{-iy}}dy=$
$=\int_0^{2\pi}i\frac{e^{i(y)}+e^{-i(y)}}{e^{i(y)}-e^{-i(y)}}dy=\int\limits_{|z|=1}\frac{z+\frac{1}{z}}{z(z-\frac{1}{z})}dz=\int\limits_{|z|=1}\frac{z+\frac{1}{z}}{z^2-1}dz$
$f(z):=\frac{z+\frac{1}{z}}{z^2-1}, z=\pm 1$ - простые полюсы.
$\operatorname*{res}\limits_{x=1}f(z)=\operatorname*{res}\limits_{x=-1}f(z)=1$
$\int_0^{2\pi} ctg(x+a)dx=2\pi i\cdot 2=4\pi i$
Где ошибка?

-- Вс май 29, 2011 21:18:42 --

$\int_0^{2\pi} e^{\cos\pi}cos(n\phi -\sin\phi)d\phi, n\in \mathbb N$ - тут может быть ошибка в условии? Как с $\sin\phi$ поступить?

[AKM]

vlad_light в сообщении #451799 писал(а):

$=\int_0^{2\pi}i\frac{e^{i(y)}+e^{-i(y)}}{e^{i(y)}-e^{-i(y)}}dy=\int\limits_{|z|=1}\frac{z+\frac{1}{z}}{z(z-\frac{1}{z})}=\int\limits_{|z|=1}\frac{z+\frac{1}{z}}{z^2-1}$

Вау! В ТФКП интегралы без дифференциалов обходятся? Завтра же сяду учить!