Кубические матрицы

[Энер]

А как Вы думаете , существуют ли алгоритмы операций над кубическими матрицами , и если да , то каковы они?

[Iosif1]

Энер писал(а):

А как Вы думаете , существуют ли алгоритмы операций над кубическими матрицами , и если да , то каковы они?

Если можно, а что такое кубические матрицы? Iosif1

[незваный гость]

Я полагаю, M[k,l,m], (слой, строка, столбец). Посмотрите тензоры…

[photon]

Посмотрите MatLAB: работает с массивами вплоть до 32-х-мерных (если, конечно, памяти у Вас немеряно)

[Yuri Gendelman]

незваный гость писал(а):

Я полагаю, M[k,l,m], (слой, строка, столбец). Посмотрите тензоры…

В традиционной алгебре 2-матриц сложение совпадает с тензорным. А вот привычное произведение матриц - это тензорное произведение (4-мерное), свернутое по 2-м индексам. Это произведение, вместе с тензорным сложением, позволяет рассматривать кольцо 2-матриц.
Я понял вопрос так: существует ли "естественная" операция умножения на 3-матрицах, позволяющая построить кольцо 3-матриц.

[Руст]

Любые такие матрицы есть тензоры ранга (m,n). В данном случае m+n=3. А произведение двух "матриц" есть билинейная функция, т.е. полилинейная по компонентам. Поэтому они являются свёртками тензоров. Если две "матрицы" имеют ранги 3, то свертка может иметь ранг 6( нет свертки), 4(свертка по одному индексу), 2(по двум индексам) 0(по трём индексам). Т.е. произведение не можеть иметь такой же ранг (уж тем более тип). Можно ввести "произведение трёх кубических матриц", сохраняющих и ранг и тип, т.е. трём матрицам типа (2,1) или (1,2) можно сопоставить "кубическую матрицу" такого же типа.

[SergeiMS]

По-моему, есть книга на тему. Автор вроде Сапоженко, или похоже.

[Yuri Gendelman]

Руст писал(а):

Т.е. произведение не можеть иметь такой же ранг (уж тем более тип).

... или любой другой нечетный.

Но для ранга 1 и размерности 3 есть, например, конструкция векторного произведения:
$\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}{\epsilon _{i,j,k} a_j b_k}$

Можно и для ранга 3 и размерности 9 определить аналогичное произведение:
$\sum_{l=1}^{9}\sum_{m=1}^{9}\sum_{n=1}^{9}\sum_{p=1}^{9}\sum_{q=1}^{9}\sum_{r=1}^{9}{\epsilon _{i,j,k,l,m,n,p,q,r} a_{l,m,n} b_{p,q,r}}$

Только не спрашивайте зачем.

[Руст]

Это имеется для любой размерности. Т.е. любому тензору ранга k можно сопоставить псевдотензор ранга n-k $\epsilon_{i_1i_2...i_n}A^{i_1i_2...i_k}$ (переход к дуальному). В размерности 3 это векторное произведение. Однако это "псевдотензор" ведёт себя как тензор только относительно группы переходов к другим базисам SL (сохраняющих объём и ориентацию), а не для всех GL.