Задача на делимость

[Xenia1996]

Числа $x, y, z\in\mathbb{Z}$ таковы, что $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$

Доказать, что $54|(x+y+z)$

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #451486 писал(а):

Числа $x, y, z\in\mathbb{Z}$ таковы, что $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$

Доказать, что $54|(x+y+z)$

Ну, что тут сказать. Конечно же, $x \equiv y \equiv z \pmod{3}$. А дальше понятно.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #451493 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #451486 писал(а):

Числа $x, y, z\in\mathbb{Z}$ таковы, что $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$

Доказать, что $54|(x+y+z)$

Ну, что тут сказать. Конечно же, $x \equiv y \equiv z \pmod{3}$. А дальше понятно.

Ну я так и знала. Хотела написать "найти наибольшее целое $n$ такое, что $x+y+z$ обязано делиться на $n$". Хотя, всё равно было бы легко.
А Вы бы поверили, что эта задача на Всесоюзке предлагалась? Да ещё на последнем, пятом этапе? Да ещё вместо 54 стояло 27?

(Оффтоп)

Тихий ужас...

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #451495 писал(а):

А Вы бы поверили, что эта задача на Всесоюзке предлагалась? Да ещё на последнем, пятом этапе? Да ещё вместо 54 стояло 27?

А, вот, оказывается, где я её видел. Но это нормально. Наверное, для младших классов. И потом, должны же быть в варианте простые задачи, которые решат большинство. Кстати, давайте сделаем из неё задачку посложнее: найти бесконечно много троек $(x,y,z)$ целых (натуральных?) чисел, которые удовлетворяют Вашему уравнению.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #451500 писал(а):

Наверное, для младших классов.

Ну, если только 10-й класс является младшим...

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #451501 писал(а):

nnosipov в сообщении #451500 писал(а):

Наверное, для младших классов.

Ну, если только 10-й класс является младшим...

Тогда, вероятно, это было давно.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #451500 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #451495 писал(а):

А Вы бы поверили, что эта задача на Всесоюзке предлагалась? Да ещё на последнем, пятом этапе? Да ещё вместо 54 стояло 27?

А, вот, оказывается, где я её видел. Но это нормально. Наверное, для младших классов. И потом, должны же быть в варианте простые задачи, которые решат большинство. Кстати, давайте сделаем из неё задачку посложнее: найти бесконечно много троек $(x,y,z)$ целых (натуральных?) чисел, которые удовлетворяют Вашему уравнению.

Целых - легко: http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=31477
А натуральных, я полагаю, нет. Там хоть где-нибудь, но минус получается. Например: (-15, -18, -21)...

-- Вс май 29, 2011 12:17:30 --

А нет, пардон, уже увидела, что есть.
(15, 18, 21) также подходит.

-- Вс май 29, 2011 12:19:45 --

Ещё
(138, 144, 150) подошло.

Кажется, закономерность вырисовывается.

-- Вс май 29, 2011 12:22:30 --

Ещё (477, 486, 495)

-- Вс май 29, 2011 12:24:40 --

Дошло:

$(18n^3-3n, 18n^3, 18n^3+3n)$

[nnosipov]

Ксения, а вот все решения в целых числах:

$$ x=\frac{-k^2l-kl^2+2k+l}{3}, \quad y=\frac{-k^2l-kl^2-k+l}{3}, \quad z=\frac{-k^2l-kl^2-k-2l}{3}. $$

Здесь $k$, $l$ --- произвольные целые числа, для которых указанные выражения для $x$, $y$, $z$ будут принимать целые значения.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #451517 писал(а):

Ксения, а вот все решения в целых числах:

$$ x=\frac{-k^2l-kl^2+2k+l}{3}, \quad y=\frac{-k^2l-kl^2-k+l}{3}, \quad z=\frac{-k^2l-kl^2-k-2l}{3}. $$

Здесь $k$, $l$ --- произвольные целые числа, для которых указанные выражения для $x$, $y$, $z$ будут принимать целые значения.

А вот с этого момента, пожалуйста, поподробней.
Как Вы к этому пришли?

[Pahigor]

(Оффтоп)

эта задачка может показаться легкой только для "прожженных" в теории чисел
для меня-гроб(и для не знающих теорию чисел)

[nnosipov]

Оказалось, это простая вещь. Подумайте ещё и, я уверен, сообразите сами (удовольствие гарантируется). Вот такое уравнение $(x+y)(y-z)(z-x)=x+y+z$ тоже можно решить в целых числах, но здесь немного по-другому.

[Xenia1996]

Pahigor в сообщении #451553 писал(а):

(Оффтоп)

эта задачка может показаться легкой только для "прожженных" в теории чисел
для меня-гроб(и для не знающих теорию чисел)

Какая из них?
О делимости на 54? Или о решении уравнения в целых числах?

[Pahigor]

обе

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #451555 писал(а):

Оказалось, это простая вещь. Подумайте ещё и, я уверен, сообразите сами (удовольствие гарантируется). Вот такое уравнение $(x+y)(y-z)(z-x)=x+y+z$ тоже можно решить в целых числах, но здесь немного по-другому.

Что-то голова перестала работать.
Или, может, я не вижу той простой идеи, до которой Вы додумались.

[nnosipov]

Да банально это: положим $x-y=k$, $y-z=l$, тогда $x=z+k+l$, $y=z+l$ и $z-x=-k-l$. Осталось загрузить это в уравнение и посмотреть, что будет. А будет там формула для $z$. И потом уже --- формулы для $x$ и $y$. Ok?