подпространство в L^1

[Oleg Zubelevich]

баян наверное

$E\subset L^1(0,1)$ -- замкнутое подпространство такое, что $E\subset L^\infty(0,1)$. Доказать, что $\mathrm{dim}\,E<\infty$

[Padawan]

Может уже напишите решение? Я только пришел к тому, что на $E$ нормы $\|\cdot\|_{L^1}$ и $\|\cdot\|_{L^\infty}$ эквивалентны. Дальше , видимо, надо показать компактность единичного шара. Как это делать -- не представляю.

[Oleg Zubelevich]

Когда чуть больше времени будет напишу решение. Пока подсказка: пространство $E$ гильбертово относительно $L^2-$ скалярного произведения

[Oleg Zubelevich]

Пусть $\{\psi_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ -- ортонормированный базис в $E$ Существование такого базиса вытекает из того, что $E$ -- подмножество сепарабельного $L^1(0,1)$, и потому сепарабельно.

Зафиксируем натуральное $m$ и для почти каждого $x\in (0,1)$ выберем набор чисел $\{c_i\},\quad c_1^2+\ldots +c_m^2=1$ так, что

$$\sum_{k=1}^m\psi_k^2(x)=\sum_{k=1}^mc_k\psi_k\le\|\sum_{k=1}^mc_k\psi_k\|_{L^\infty}\le C\|\sum_{k=1}^mc_k\psi_k\|_{L^2}=C$$

$$C\ge \int_{(0,1)}\sum_{k=1}^m\psi_k^2(x)dx=m.$$

[sup]

Хм, я рассуждал практически точно также .
Из условия задачи следует, что на нем $\|\cdot\|_{L_1} \sim \|\cdot\|_{L_2} \sim \|\cdot\|_{L_\infty}$
Выберем ортонормированный базис $\{e_n\}$ в $E$. Тогда, "по идее", должно быть равенство
$\sum \limits_k e_k(x)e_k(y) = \delta(x-y)$
Ожидается, что отсюда можно вывести неэквивалентность норм.
Исходя из этого соображения положим
$F_n(x,y)=\sum \limits_{k=0}^n e_k(x)e_k(y)$
$\iint|F(x,y)|dxdy \leqslant \sqrt{ \iint F^2(x,y)dxdy}=\sqrt n$
С другой стороны
$\|F_n(\cdot ,y)\|_{L_\infty} \geqslant \sum \limits_{k=0}^n e_k^2(y)$
и в силу эквивалентности норм
$\iint|F(x,y)|dxdy \geqslant C\sum \limits_{k=0}^n\int e_k^2(y)dy=Cn$
Противоречие.

[Oleg Zubelevich]

возможно было бы интересней подумать над таким утверждением (гипотеза):
пусть $E$ -- замкнутое подпространство в $L^p(0,1)$ и $E\subseteq L^r(0,1),\quad \infty\ge r>p\ge 1$. Тогда $E$ конечномерно. А то гильбертовость выглядит как трюки какие-то.

[Padawan]

Тогда на $E$ эквивалентны все нормы $\|\cdot\|_{L^s}$, где $p\leqslant s\leqslant r$...

[sup]

Padawan в сообщении #450373 писал(а):

Тогда на $E$ эквивалентны все нормы $\|\cdot\|_{L^s}$, где $p\leqslant s\leqslant r$...

Не только. Нормы эквивалентны для любых $1 \leqslant s \leqslant r$. В самом деле, имеет место мультипликативное неравенство (с некоторым $\alpha$)
$\| f \|_p \leqslant \| f \|_1^{\alpha}\| f \|_r^{1-\alpha}$
Следовательно
$\| f \|_r \leqslant C\| f \|_1^{\alpha}\| f \|_r^{1-\alpha}$
$\| f \|_r \leqslant C_1\| f \|_1$
Отмечу, также, что замкнутость $E$ нам понадобилась только лишь для вывода эквивалентности норм. (Да и базис в $L_2$ не нужен, а нужна лишь ортонормированная система векторов). Поэтому задачу можно обобщить так. Пусть $E$ - линейное пространство в $L_r(0,1)$ на котором $ \| \cdot \|_1 \sim \| \cdot \|_r$. Надо доказать, что $E$ конечномерно.
Вообще то ... есть у меня идея: вот бы к сопряженным пространствам перейти. Тогда интервал $[1,r]$ переходит в $[r', \infty]$, а он, как и выше, в $[1, \infty]$. Заманчиво. Но это лишь "идея".
А вот что можно получить для $r>2$. Рассмотрим какую-нибудь ортонормированную в $L_2(0,1)$ систему функций $\{f_k\}$ из $E$. Пусть $\delta(x)$ какое-нибудь ядро "циклической" свертки ("склеим" концы интервала). Свойства $\delta(x)$ обсудим позже. Ну а теперь положим $g_k=f_k*\delta$. Наконец
$G_n(x,y)= \sum \limits_{k=0}^{n}g_k(x)g_k(y)$
$F_n(x,y)= \sum \limits_{k=0}^{n}f_k(x)g_k(y)$
$\sum \limits_{k=0}^{n}g_k^2(y) \leqslant \|G_n( \cdot ,y)\|_{\infty} \leqslant \|\delta\|_{r'} \|F_n( \cdot ,y)\|_r \leqslant$
$C\|\delta\|_{r'} \|F_n( \cdot ,y)\|_2 = C \|\delta\|_{r'}\sqrt{\sum \limits_{k=0}^{n}g_k^2(y)}$
Ну и наконец (устремляя $n \to \infty$)
$\sum \limits_{k=0}^{\infty}g_k^2(y) \leqslant C \|\delta\|^2_{r'} $
Ну а теперь проинтегрируем это по $y$. Для оценки интеграла, перейдем к преобразованию Фурье (+ равенство Парсеваля), после чего свертка превращается в произведение.
Пусть $\{a_{kl}\}$ - коэффициенты ряда Фурье функции $f_k$, а $\{d_l\}$ - коэффициенты ряда Фурье функции $\delta$
$\sum \limits_{l=0}^{\infty} d^2_l\sum \limits_{k=0}^{\infty}a^2_{kl} \leqslant C \|\delta\|^2_{r'} $
Осталось подобрать функцию $\delta(x)$ так, чтобы получить противоречие.

[Padawan]

sup в сообщении #451087 писал(а):

имеет место мультипликативное неравенство (с некоторым $\alpha$)
$\| f \|_p \leqslant \| f \|_1^{\alpha}\| f \|_r^{1-\alpha}$

Не понятно, что это за неравенство. Поясните, пожалуйста.

[sup]

Ну, вообще-то, это интерполяционное неравенство. Но в данном случае его можно получить используя неравенство Гельдера.
Пусть
$\frac {p(1-\alpha)}{1-p\alpha}=r$
По неравенству Гельдера
$\int |f|^pdx=\int |f|^{p\alpha}|f|^{p(1-\alpha)}dx \leqslant \left ( \int |f|dx \right )^{p\alpha}\left ( \int |f|^rdx \right )^{1-p\alpha}$

-- Вс май 29, 2011 10:13:54 --

Рассмотрим интерполяционную пару $(L_1(0,1), L_{\infty}(0,1))$. Тогда $L_p(0,1)=(L_1(0,1), L_{\infty}(0,1))_{\alpha}$.
Отсюда уже "легко" получаются теоремы типа Рисса-Торина или например Хаусдорфа (по поводу преобразования Фурье).

[aram_walker]

Oleg Zubelevich в сообщении #450297 писал(а):

Пусть $\{\psi_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ -- ортонормированный базис в $E$ Существование такого базиса вытекает из того, что $E$ -- подмножество сепарабельного $L^1(0,1)$, и потому сепарабельно.

Зафиксируем натуральное $m$ и для почти каждого $x\in (0,1)$ выберем набор чисел $\{c_i\},\quad c_1^2+\ldots +c_m^2=1$ так, что

$$\sum_{k=1}^m\psi_k^2(x)=\sum_{k=1}^mc_k\psi_k\le\|\sum_{k=1}^mc_k\psi_k\|_{L^\infty}\le C\|\sum_{k=1}^mc_k\psi_k\|_{L^2}=C$$

$$C\ge \int_{(0,1)}\sum_{k=1}^m\psi_k^2(x)dx=m.$$

Поясните поподробней предпоследнюю серию неравенств - почему

$$\sum_{k=1}^m\psi_k^2(x)=\sum_{k=1}^mc_k\psi_k$$

[Oleg Zubelevich]

$$\sum_{k=1}^m\psi_k^2(x)=\Big(\sum_{k=1}^mc_k\psi_k\Big)^2\le \Big\|\Big(\sum_{k=1}^mc_k\psi_k\Big)^2\Big\|_{L^\infty}\le C'\Big\|\Big(\sum_{k=1}^mc_k\psi_k\Big)^2\Big\|_{L^1}=C'\sum_{k=1}^mc_k^2\|\psi_k\|_{L^2}^2=C'$$