Тогда на

эквивалентны все нормы

, где

...
Не только. Нормы эквивалентны для любых

. В самом деле, имеет место мультипликативное неравенство (с некоторым

)

Следовательно


Отмечу, также, что замкнутость

нам понадобилась только лишь для вывода эквивалентности норм. (Да и базис в

не нужен, а нужна лишь ортонормированная система векторов). Поэтому задачу можно обобщить так. Пусть

- линейное пространство в

на котором

. Надо доказать, что

конечномерно.
Вообще то ... есть у меня идея: вот бы к сопряженным пространствам перейти. Тогда интервал
![$[1,r]$ $[1,r]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/d/51df492f3aaebe99b22368755fe18d0382.png)
переходит в
![$[r', \infty]$ $[r', \infty]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5fb01b64e37502e3f51f5c91c92aafa82.png)
, а он, как и выше, в
![$[1, \infty]$ $[1, \infty]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/c/5fc0d97dd0ef00e8e7ce8f86c85834e182.png)
. Заманчиво. Но это лишь "идея".
А вот что можно получить для

. Рассмотрим какую-нибудь ортонормированную в

систему функций

из

. Пусть

какое-нибудь ядро "циклической" свертки ("склеим" концы интервала). Свойства

обсудим позже. Ну а теперь положим

. Наконец




Ну и наконец (устремляя

)

Ну а теперь проинтегрируем это по

. Для оценки интеграла, перейдем к преобразованию Фурье (+ равенство Парсеваля), после чего свертка превращается в произведение.
Пусть

- коэффициенты ряда Фурье функции

, а

- коэффициенты ряда Фурье функции


Осталось подобрать функцию

так, чтобы получить противоречие.